La funcion logaritmica

La función logarítmica en base a es la función inversa de la exponencial en base a.

x | |
1/8 | -3 |
1/4 | -2 |
1/2 | -1 |
1 | 0 |
2 | 1 |
4 | 2 |
8 | 3 |

x | |
1/8 | 3 |
1/4 | 2 |
1/2 | 1 |
1 | 0 |
2 | −1 |
4 | −2 |
8 | −3 |

Propiedades de las funciones logarítmicas
Dominio:
Recorrido:
Es continua.
Los puntos (1, 0) y (a, 1) pertenecen a la gráfica.Es inyectiva (ninguna imagen tiene más de un original).
Creciente si a>1.
Decreciente si a<1.
Definición de logaritmo

Siendo a la base, x el número e y el logaritmo.

Calcular por la definición de logaritmo el valor de y.
1

2

3

4

5

De la definición de logaritmo podemos deducir:
No existe el logaritmo de un número con base negativa.

No existe el logaritmo deun número negativo.

No existe el logaritmo de cero.

El logaritmo de 1 es cero.

El logaritmo en base a de a es uno.

El logaritmo en base a de una potencia en base a es igual al exponente.

Dominio y rango de la función logarítmica
Sea f (x) = log B x
Dado que la función exponencial es la inversa de la función logarítmica, el rango de la función logarítmica es el dominio de lafunción exponencial, que es el conjunto de todos los números reales.
El dominio de la función logarítmica es el rango de la función exponencial, dada por el intervalo (0, + infinito).
Propiedades de los logaritmos
1El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.

2 El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor.3El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base.

4El logaritmo de una raíz es igual al cociente entre el logaritmo del radicando y el índice de la raíz.

5Cambio de base:

Ejemplo 1: f es una función dada por
f (x) = log 2 (x + 2)
a. Determine el dominio de f y el rango de f.
b. Encuentra la asíntota vertical de la gráfica de f.c. Encuentra la X y la intercepta y de la gráfica de f si los hay.
d. Dibuje la gráfica de f.
Respuesta a la Ejemplo 1
a - El dominio de f es el conjunto de todos los valores de x tal que 
x + 2 > 0
x > -2
El rango de f es el intervalo (-inf, + inf).
b - La asíntota vertical se obtiene mediante la solución de
 x + 2 = 0
lo que da
 x = -2
Cuando x tiende a -2 de la derecha(x> -2), f (x) decrece sin límite. ¿Cómo sabemos esto?
Veamos algunos valores:
f (-1) = log 2 (-1 + 2) = log 2 (1) = 0
f (-1,5) = log 2 (-1,5 + 2) = log 2 (1 / 2) = -1
f (-1,99) = log 2 (-1,99 + 2) = log 2 (0.01), que es aproximadamente igual a -6,64
f (-1.999999) = log 2 (-1,999999 + 2) = log 2 (0.000001), que es aproximadamente igual a -19,93.
c - Para encontrar la intersección x tenemosque resolver la ecuación f (x) = 0
log2 (x + 2) = 0
Usar las propiedades de las funciones logarítmicas y exponenciales para escribir la ecuación anterior como
 x + 2 = 2^0
x = -1
La intersección x es (-1, 0).
La intersección está dada por (0, f (0)) = (0, log 2 (0 + 2)) = (0, 1).
d - Hasta ahora tenemos el dominio, rango, x e intercepta y, y la asíntota vertical. Necesitamos más puntos.Vamos a considerar un punto en x = -3 / 2 (a medio camino entre la X y la intersección de la asíntota vertical) y otro punto en x = 2.
f (-3 / 2) = log 2 (-3 / 2 + 2) = log 2 (1 / 2) = log 2 (2 -1) = -1.
f (2) = log 2 (2 + 2) = log 2 (2 2) = 2.
Ahora tenemos más información sobre la forma de gráfico de f. El gráfico aumenta a medida que aumenta x. Cerca de la asíntota vertical x = -2, la gráficade f disminuye sin límite cuando x tiende a -2 de la derecha. La gráfica no corta la asíntota vertical. Nos unen ahora a los diferentes puntos de una curva suave.

Ejemplo 2: f es una función dada por
f (x) = -3ln (x - 4)
 
a. Determine el dominio de f y el rango de f.
b. Encuentra la asíntota vertical de la gráfica de f.
c. Encuentra la X y la intercepta y de la gráfica de f...