La Hiperbola

V. Ecuacion de la elipse con centro en el punto C(h, k) y eje focal paralelo al eje X.

Encontrar la ecuacion de la elipse con centro en el punto C(3, -4), eje focal paralelo al eje X, cuya longitud del eje mayor es 10 y de excentricidad 4/5.

Solucion.
De acuerdo con las condiciones gemotricas indicadas, la ecuacion de la elipse en la forma reducida es:
(x-3)²/a² + (y+4)²/b² = 1

Endonde 2a = 10, es decir a=5, e = c/a = 4/5, es decir, c = 4; luego:

De donde c²= a²-b²
b²= a²-c²
b²= 25-16
b²= 9

Por consiguiente, la ecuacion de la elipse es:

(x-3)²/25 + (y+4)²/ 9 = 1

Al multiplicar los miembros de la ecuacion anterior por 225 (es decir 25*9) resulta:225(x-3)²/25 + 225(y+4)²/9 = 225

Es decir,
9(x-3)² + 25(y+4)² = 225

De donde:

9(x²-6x+9)² + 25(y²+8x+16) = 225
9x²-54x+81+25y²+200y+400-225= 0
9x²+25y²-54x+200y+256 = 0

Las coordenadas de los vertices de la elipse son:
V(h+a, k) V'(h-a,k)
V(3+ 5, -4) V'(3-5, -4)
V(8, -4) V'(-2,-4)

Las coordenadas de los focos son:
F(h+c,k)F'(h-c,k)
F(3+4, -4) F'(3-4,-4)
F(7,-4) F'(-1,-4)

VI. Ecuacion de la elipse con centro en el punto C(h, k) y cuyo eje focal paralelo al eje Y.

Hallar la ecuacion de la elipse con centro en el punto C(-2, 1) , eje focal paralelo al eje Y, cuya longitud del eje menor es 16 y de longitud de cada lado recto igual 32/3.

Solución
De acuerdo con lascondiciones indicadas, la ecuacion de la elipse es de la forma:
(x-h)²/b² + (y-k)²/a² = 1

En donde h= -2 y k = 1. Ademas:
2b=16



Es decir, b= 16/2
b=8
LR = 2b²/a = 32/3
2(64)/a² = 32/3
2(64)(3) = 32a


De donde: a= 2(64)(3)/32a= 12

Por consiguiente la ecuacion de la elipse en la forma reducida es:
(x-2)² /64 + (y-1)² /144 = 1


Al multiplicar ambos miembros de la ecuacion anterior por 9216 (es decir, 64 x 144), resulta:

144(x+2)² + 64(y-1)² = 9216
144(x²+4x+4) + 64(y²-2y+1)² = 9216
144x² + 576x + 576 + 64y² - 128y+ 64 -9216 = 0
144x² + 64y² + 576x -128y-8576 = 0

Las coordenadas de los focosde la elipse son:
F(h, k+ c) F'(h, k - c)
F(-2,1+4√5) F'(-2,1 -4√5)

Las coordenadas de los vertices son:
V(h, k +a) V'(h, k-c)
V(-2, 1 +12) V'(-2, 1 - 12)
V(-2, 13) V'(-2, -11)

*Observa que c= √144-64 = √80 = √16(5) = 4√5

VII. Ecuacion general de la elipse.

Toda ecuacion de una elipse se puede escribir en ladenominada forma general que es:
Ax² - By² + Dx + Ey + F=0

En donde A y B son diferentes de cero y tienen el mismo signo.

A partir de la ecuacion general de una elipse podemos encontrar la expresion de su forma reducida aplicando el metodo de completar trinomios cuadrados perfectos, como veremos en el siguiente ejemplo.

Ejemplo.

Encontrar la ecuacion en la forma reducida y el centro de laelipse.
9x² + 16y² - 90x+ 96y + 225 = 0

Solucion.
Paso 1 Agrupar los terminos que contienen x en un parentesis y los que contienen y en otro:
(9x² - 90x) + (16y² + 96y) + 225 = 0

Paso 2 Trasponer el termino numerico 2255 al lado derecho de la ecuacion y factorizar las expresiones algebraicas agrupadas, sacando el maximo factor comun:
9(x² - 10x) + 16(y² + 6y) -225

Paso 3 Formartrinomios cuadrados perfectos con las expresiones agrupadas en el lado izquierdo en la forma acostumbrada y sumar en el miembro derecho los numeros necesarios para que se obtenga una ecuacion a la anterior:
9 [x² - 10x + (10/2) ] + 16 [ y² + 6y + (6/2)² ] = -225 + 225 + 144

Observa que 9 (10/2)² es igual a 225 y que 16(6/2)² es igual a 144, que son los numeros agregados en el miembro derecho...