La integracion y diferencia numerica

Capítulo 6
Diferenciación e Integración Numérica
Diferenciación Numérica
El cálculo de la derivada de una función puede ser un proceso "difícil" ya sea por lo complicado de la definición analítica de la función o por que esta se conoce unicamente en un número discreto de puntos. (Este es el caso si la función representa el resultado de algún experimento). En esta lección estudiaremos técnicaspara aproximar las derivadas de una función y veremos el análisis de error de dichas formulas.
Formulas para la primera derivada: La definición de la derivada de una función f(x) en el punto "x" esta dada en terminos del limite:
[pic]
De esta definición podemos decir que si "h" es pequeño entonces:
[pic]
(Note el simbolo de aproximación). Esto nos da inmediatamente la primera formula numéricapara aproximar la derivada:
[pic]
Antes de ver algunos ejemplos donde usamos esta formula, tratemos de constestar la pregunta de ¿cuán buena es esta aproximación de la derivada? Por el Teorema de Taylor sabemos que:
[pic]
donde [pic]esta entre x y x+h. Si despejamos ahora en esta formula por f'(x) y usamos la definición de [pic]tenemos que:
[pic]
Esta formula nos dice que [pic]aproxima af'(x) con un error proporcional a "h", i.e., O(h).
Ejemplo 1: Tomamos [pic]y queremos aproximar [pic]cuyo valor exacto es nueve. En la siguiente figura ilustramos los errores [pic]como función de "h" en escala logarítmica.
[pic]
Podemos ver que los errores disminuyen hasta un cierto valor critico "hmin" luego del cual los errores aumentan según la "h" disminuye. ¿Contradice esto el resultado dearriba de O(h) del error? ¡NO! El resultado de arriba es sobre la convergencia si la aritmética es exacta y se dice que es un resultado asintótico. La figura ilustra los efectos de redondeo debido a la aritmética finita los cuales se hacen significativos para "h" pequeño y pueden afectar cualquier formula numérica para aproximar la derivada. Sin embargo, una formula con un grado de aproximabilidaddigamos O(h2) es preferible a una O(h) ya que los errores (teoricos) tienden a cero más rápido y asi la "h" no se tiene que hacerse tan pequeña reduciendo asi los efectos de los errores por la aritmética finita.
El método de arriba usando la expansión de Taylor se puede utilizar para obtener formulas para aproximar la derivada con un grado de aproximabilidad más alto que uno. Ilustramos estopara la obtención de una formula O(h2). Si en lugar de llegar hasta terminos de orden dos, expandimos hasta terminos de orden tres en la expansión de Taylor, obtenemos las formulas:
[pic]
Si restamos estas dos ecuaciones, despejamos para f'(x), y usamos el teorema del valor medio aplicado a f'''(x) obtenemos la formula:
[pic]
donde
[pic]
y [pic]esta entre [x-h,x+h]. Tenemos pues que la formula[pic]tiene un error proporcional a O(h2).
Ejemplo 2: Comparamos las dos formulas obtenidas hasta ahora para aproximar f'(x) con el ejemplo de [pic]para [pic]. Los resultados los presentamos en forma tabulada para distintos valores de h:
|h |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |
|0.1 |13.5795 |4.57948|9.85264 |0.852636 |
|0.05 |11.0266 |2.02656 |9.21079 |0.210788 |
|0.025 |9.95452 |0.954519 |9.05255 |0.0525492 |
|0.0125 |9.46337 |0.463374 |9.01313 |0.0131281|

Este ejemplo ilustra lo superior de la formula [pic]. Note que cada ves que h se divide entre dos, el error en la formula [pic]se divide por dos (aproximadamente) mientras que en la formula [pic]se divide (aproximadamente) por cuatro (¿por qué?).
En forma similar se pueden obtener formulas de orden mayor utilizando expansiones de Taylor que envuelvan x±2h, x±3h, etc. Por...