La Integral De Superficie

z
x
y
z=f(x,y)
S
R
1. La Integral de Superficie.
El objetivo principal de esta sección es el de introducir la noción de superficie. Su definición es muy parecida a la de la integral de una función sobre una región plana. No nos ocuparemos de los aspectos más sofisticados. Supondremos que la superficie con las que trabajamos son suaves o compuestas de un número finito de partes suaves. Comoejemplo de tales superficies podemos pensar en una esfera o en la superficie de un cubo.
Figura 1: La Integral de Superficie

Comenzaremos considerando superficies dadas por z=g(x,y) para pasar, más adelante, a superficies dadas en forma paramétrica.
Sean S la superficie de ecuación z=g(x,y) y R su proyección sobre el plano xy (figura 1). Suponemos que g, gx, gy son continuas en todos lospuntos de R y que f está definida sobre S. Evaluamos f en (xi,yi,zi) y formamos la suma
i=1nf(xi,yi,zi)∆Si
Donde
∆Si≈1+gxxi,yi2+gyxi,yi2 ∆Ai
Si existe límite cuando ∆ se hace tender a 0, La Integral de Superficie de f sobre S se define como
sfx,y,zdS=lim∆→0i=1nf(xi,yi,zi)∆Si
Esta integral se puede calcular como una integral doble.
Una integral de superficies a las superficies en elespacio, lo que una integral de línea (curva) es a las curvas en el plano y puede definirse a través del siguiente teorema:
Teorema 1.1: Definición de Integral de Superficie.
Sea S una superficie dada por z=f(x,y) donde (x,y) pertenece a R. Si f tiene derivadas parciales de primer orden continua y g(x,y,fx,y) es continua sobre R, entonces:
Sfx,y,zdS=Rf(x,y,gx,y)1+gxx,y2+gyx,y2 dA
Parasuperficies descritas por funciones de x,y (0 de y,z) deben efectuarse los siguientes ajustes en el teorema. Si S es la gráfica
Sfx,y,zdS=Rf(x,gx,y,z)1+gxx,z2+gzx,z2 dA
Sfx,y,zdS=Rf(gx,y,y,z)1+gyy,z2+gzy,z2 dA
Ejemplo 1.1
Evalúe
Sxyzds
Donde S es la porción del cono z2=x2+y2 comprendida entre los planos z=1 y z=4.
z=4
x
y
S
R
z=1
z

z2=x2+y2

Solución:
Definimos z2=x2+y2⇒z=x2+y2,como z=f(x,y)⇒fx,y=x2+y2 y usamos la definición de integral de superficie:
Sfx,y,zdS=Rf(x,y,gx,y)1+fxx,y2+fyx,y2 dydx
Donde sus derivadas parciales con respecto a x y con respecto a y de f(x,y) es
fx=2x2x2+y2=xx2+y2 y fy=2y2x2+y2=yx2+y2
Tenemos que
fx2+fy2+1=xx2+y22+yx2+y22+1=x2x2+y2+y2x2+y2+1=1+1
fx2+fy2+1=2
Y
Sxyzds=Rxyfx,yfx2+fy2+1dydx=Rxyx2+y2 2 dydx
Para lograr resolveresta integral hacemos un cambio a coordenada polar
x=rcosθ ; y=rsenθ ; r2=x2+y2 ; 0≤θ≤2π ; 1≤r≤4
Sustituyendo queda
Rxyx2+y2 2dydx=202π14rcosθrsenθr rdθdr=02πcosθsenθdθ14r4dr
⇒202πcosθsenθdθr5541=202πcosθsenθdθ455-155=10235202πcosθsenθdθ
⇒102352sen2θ22π0=102352sen22π2-sen202=0
1.2 Aplicaciones de la Integral de Superficies.
Para aplicaciones de la integral de superficienecesitamos limitar aún más la clase de superficies que consideraremos. La mayoría de las superficies que aparecen en la práctica son de dos caras, por lo que tendrá sentido hablar de un fluido que atraviesa la superficie de una cara a otra. También supondremos que la superficie es suave, lo que significa que su normal unitaria n tiene una variación continua.

Teorema 1.2: Flujo de un CampoVectorial a través de una Superficie.
Sea S una superficie suave de dos caras dada por z=f(x,y), donde (x,y) pertenece a R, y sea n la normal unitaria hacia arriba en S. Si f tiene derivadas parciales de primer orden continuas, y F=Mi+Nj+Pk es un campo vectorial continuo, entonces el flujo de F a través de S está dado por:
Flujo de F=SF•n.dsSF•n.ds=RMi+Nj+Pk-fxi-fyj+kds=R-Mfx-Nfy+Pdxdy
Sea dicha S una superficie suave de dos caras y supóngase que esta sumergida en un fluido que tiene un campo de velocidades continuo F(x,y,z). Si ∆S es el área de una pequeña parte de S, entonces F será casi constante ahí y el volumen ∆V de fluido que cruza ese pedazo en la dirección del vector normal unitario n (figura 2) es
∆V≈F.n.∆S
∆S
v
u
∆S
S
n
F
x
y
z
S...