La Tautologia Interiorizable

1.4 Tautologías, contradicciones y
contingencias
Lógica

Definiciones
ƒ Tautología: Son aquellas fórmulas que son ciertas para
cualquier valoración de los símbolosproposicionales que
contiene.
ϕ ∈ LΣ
ϕ tautología ⇔ ∀ V [ϕ]V
= 1 (o V ϕ )
ƒ Contradicción: Son aquellas fórmulas que son falsas
para cualquier valoraciónde los símbolos proposicionales
que contiene.
ϕ ∈ LΣ
ϕ contradicción ⇔ ∀ V [ϕ]V
= 0 (o V  ϕ )
ƒ Contigencia: Son aquellas fórmulas cuyo valor de verdad
ofalsedad depende de la valoración de los símbolos
proposicionales que contiene.

Ejemplo
ƒ Demostrad que  = (p → q) ∧ p ∧ ¬q es una contradicción
• Reducción al absurdo:¾ Supongamos que existe valoración V tal que V 
¾ Entonces V  p → q, V p, V  ¬q
¾ Pero no es posible [p → q]V
= 1 con V(p) = 1 y V(q) = 0


Teorema
ƒ Teorema:Existe un método efectivo para decidir si una fórmula dada ϕ ∈ LΣ
es tautología, contradicción o contingencia.
ƒ
Sustituciones
ƒ Definición:
Sea una fórmula ψ ∈ LΣ
que contieneal menos los símbolos
proposicionales p1
, p2
, ... pn
∈ Σ, y sean ϕ1
, ϕ2
, ... ϕn
fórmulas
arbitrarias de LΣ
ψ’ = ψ[p1
/ϕ1
, p2
/ϕ2
, ... pn
/ϕn
] designa ala fórmula resultante de
sustituir en ψ todas las apariciones de p1
, p2
, ... pn
por ϕ1
, ϕ2
, ... ϕn
respectivamente.
ƒ Ejemplo:
(p →¬q∧r)→(p↔s) [p/(s∧t),q/(¬t)] ⇒((s∧t) →¬(¬t)∧r)→((s∧t) ↔s)
ƒ Definición:
La fórmula ψ’ obtenida a partir de ψ mediante sustitución se le
denomina caso particular de ψ

Teorema
ƒ Teorema:
ϕ es tautología ⇔Todo caso particular de ϕ (ϕ’) es tautología
ƒ Ejemplo:
φ ∧ ψ → φ tautología para cualesquiera fórmulas φ, ψ ∈ LΣ
¾Por el teorema anterior ya que p ∧ q → p es tautología