Labor De Hajtion

Universidad de Santiago de Chile
Departamento de Matem´tica y C.C.
a
Ingenier´ Civil
ıa
´
Algebra1 - Soluci´n PAS
o
Profesor Ricardo Santander Baeza
19 de Julio del 2010
(1.1) Demuestre usando inducci´n matem´tica que la f´rmula:
o
a
o
F (n) :

1
1

· 1+

=2

∧

1+

1
2

· 1+

1
3

·... · 1 +

1
n

=n+1

Es verdadera (∀n; n ∈ N).
Soluci´n
o
Pordemostrar que F (1) es verdadera
En efecto,
1+

1
1

1 + 1 = 2 =⇒

1
1

1+

=1+1

De donde sigue que F (1) es verdadera.
Hip´tesis de Inducci´n: Supongamos que para alg´n m ∈ N se cumple que F (m) es verdadera. Es decir que
o
o
u
1
1

1+

1
2

· 1+

· 1+

1
3

· ...· 1 +

1
m

=m+1

(H )

Tesis de Inducci´n: Por demostrar que F (m + 1) es verdadera. Es decir,por demostrar que
o
1+

1
1

· 1+

1
2

· 1+

1
3

·... · 1 +

1
m

· 1+

1
m+1

=m+2

En efecto,
1+

1
1

· 1+

1
2

· 1+

1
3

1
m

· ...· 1 +

· 1+

1
m+1

(H )

1
m+1
m+1+1
m+1

=

(m + 1) · 1 +

=

(m + 1) ·

=

(m + 2)

As´ que F (m + 1) verdadera, y entonces F (n) es verdadera (∀n; n ∈ N)
ı
(1.2) Usando el resultadoanterior demuestre que (∀n; n ∈ N):
1+

1
n

· 1+

1
n+1

· 1+

1
n+2

·...· 1 +

1
n+n

=

2n + 1
n

Soluci´n
o
1
1
1+

1
·

n

1+
n+1

1
·

1+
n+2

1+

1
· ... ·

1+

1

=

1
· ... ·

n+n

1+
n−1

1
·

1+
1+

1
2n + 1
=
n

1Cada problema vale 1.5 puntos

Tiempo 120’
1

1
·

1

1+

n
1
· ... ·

·

n+11+

1
n−1

1+
n+2

1
· ... ·

1+
n+n

2

(2) Determine el t´rmino que contiene x12 en el desarrollo binomial
e
1
+ 1 + x6
x6

2x3 −

8

1
x3

Soluci´n
o
En primer lugar, aplicando el teorema del binomio tenemos que:
8

8

1
2x − 3
x
3

=
k=0
8

8
k

2x3

8−k

(−1)k · 28−k ·

=
k=0

−

1
x3

k

8 24−6k
x
k

As´ que,
ı
1
+ 1 +x6
x6

2x3 −

1
x3

8

=

1
+ 1 + x6
x6

8

k=0

8

(−1)k · 28−k ·

=

8 24−6k
x
k

(−1)k · 28−k ·

k=0

8 18−6k
x
+
k

8

8 24−6k
x
+
k

(−1)k · 28−k ·
k=0

8

(−1)k · 28−k ·
k=0

12

Para obtener el t´rmino que contiene x debemos resolver las ecuaciones.
e

18 − 6k = 12 ⇐⇒ 6k = 6 ⇔ k = 1

24 − 6k = 12 ⇐⇒ 6k = 12 ⇔ k = 2


30 −6k = 12 ⇐⇒ 6k = 18 ⇔ k = 3
As´ que, el t´rmino pedido es
ı
e
T

= −27 ·

8 12
8 12
8 12
x + 26 ·
x − 25 ·
x=
1
2
3

−27 ·

8
8
2
+ 26 ·
− 25 ·
1
2
3

(3) En el conjunto R − {0}, se define la relaci´n ℜ como sigue:
o
x ℜ y ⇐⇒ (∃m; m ∈ Z)(∃s; s ∈ Z) :

x
2s
=m
y
3

Muestre que ℜ es una relaci´n de equivalencia.
o
Soluci´n
o
ℜ es una relaci´n de equivalencia,si y solo si, es una relaci´n refleja, sim´trica y transitiva:
o
o
e
• Para ver la Reflexividad hacemos lo siguiente:
0

2
Dado x ∈ R − {0}, tenemos que x = 30 , xℜx, ∀ x ∈ R − {0} y ℜ es refleja.
x
• Para estudiar la Simetr´ suponemos que xℜy
ıa,

xℜy

2s
x
=m
y
3
y
3m
=⇒ (∃m; m ∈ Z), (∃s; s ∈ Z) : = s
x
2

=⇒ (∃m; m ∈ Z), (∃s; s ∈ Z) :

=⇒ (∃(−m); (−m) ∈ Z), (∃(−s); (−s)∈ Z) :
Luego, y ℜx, y ℜ es un relaci´n sim´trica.
o
e

y
2 −s
= −m
x
3

x12

8 30−6k
x
k

3

• Para estudiar la Transitividad, suponemos que xℜy ∧ y ℜz

xℜy ∧ y ℜz

x
2s
y
2f
= m ∧ (∃l; l ∈ Z)(∃f ; f ∈ Z) : = l
y
3
z
3

=⇒

(∃m; m ∈ Z)(∃s; s ∈ Z) :

=⇒

(∃m; m ∈ Z)(∃s; s ∈ Z)(∃l; l ∈ Z)(∃f ; f ∈ Z) :

=⇒

(∃(m + l); m ∈ Z)(∃(s + f ); s ∈ Z) :

xy
2s2f
· = m· l
yz
3
3

x
2s+f
= m +l
z
3

Luego, xℜz , y ℜ es una relaci´n sim´trica. Como ℜ es refleja, sim´trica y transitiva, entonces es una relaci´n de
o
e
e
o
equivalencia.
(4) Dada la funci´n h : R3 −→ R2 [x] tal que h(a, b, c) = (b − a) + (b − λa)x + (c − a + α)x2 .
o
Determine el conjunto
S = {(λ, α) ∈ R2 | h sea un Isomorfismo}
Soluci´n
o
Recordamos que h es un...