Lagrange

POLINOMIO DE INTERPOLACIÓN LAGRANGE
En análisis numérico, el polinomio de Lagrange, llamado así en honor a Joseph-Louis de Lagrange, es el polinomio que interpola un conjunto de puntos dado en la forma de Lagrange. Fue descubierto por Edward Waring en 1779 y redescubierto más tarde por Leonhard Euler en 1783.
El problema de la interpolación consiste en estimar el valor de una función en unpunto a partir de valores conocidos en puntos cercanos.
La interpolación Polinómica es un método usado para conocer, de un modo aproximado, los valores que toma cierta función de la cual sólo se conoce su imagen en un número finito de abscisas. A menudo, ni siquiera se conocerá la expresión de la función y sólo se dispondrá de los valores que toma para dichas abscisas.
El objetivo será hallar unpolinomio que cumpla lo antes mencionado y que permita hallar aproximaciones de otros valores desconocidos para la función con una precisión deseable fijada. Por ello, para cada polinomio interpolador se dispondrá de una fórmula del error de interpolación que permitirá ajustar la precisión del mismo.
Los polinomios de Lagrange permiten obtener una expresión explícita del polinomio de interpolacióncuyo interés es más bien teórico, pues es difícil de evaluar en puntos concretos.
Forma de Lagrange del polinomio de interpolación
Definición
Dado un conjunto de k + 1 puntos
(x0,y0),…,(xk,yk)
Donde todos los xj se asumen distintos, el polinomio interpolador en la forma de Lagrange es la combinación lineal de bases polinómicas de Lagrange

L(x) = j=0kyjlj(x)

Ejemplo
Se desea interpolarf(x) = tan(x) en los puntos
x0 = − 1.5 f(x0) = − 14.1014
x1 = − 0.75 f(x1) = − 0.931596
x2 = 0 f(x2) = 0
x3 = 0.75 f(x3) = 0.931596
x4 = 1.5 f(x4) = 14.1014
Con cinco puntos, el polinomio interpolador tendrá, como máximo, grado cuatro (es decir, la máxima potencia será cuatro), al igual que cada componente de la base polinómica.
La base polinómica es:

Así, el polinomiointerpolador se obtiene simplemente como la combinación lineal entre los valores de las abscisas:

Ejercicios Resueltos
Ejemplos 1:
Obtener el polinomio interpolador de Lagrange para cierta función f de la que conocemos que: f(-1)=1; f(0)=-1 ; f(2)=2 y f(3)=2.

Solución:
En primer lugar los polinomios de Lagrange:
P0(x) =(x-0)(x-2)(x-3)(-1-0)(-1-2)(-1-3)=(x)(x-2)(x-3)-12
P1(x)=(x+1)(x-2)(x-3)(0+1)(0-2)(0-3)=(x+1)(x-2)(x-3)6
P2(x) =(x+1)(x-0)(x-3)(2+1)(2-0)(2-3)=(x+1)(x)(x-3)-6
P3(x) =(x+1)(x-0)(x-2)(3-0)(3+1)(3-2)=(x+1)(x-2)(x-2)12
Ahora el polinomio interpolador:
P(x) =1(x)(x-2)(x-3)-12-1x+1x-2x-36+2(x+1)(x)(x-3)-6+2(x+1)(x)(x-2)12
P(x) = -112(5x3-19x2+12)

Ejemplos 2:
Obtener el polinomio interpolador de Lagrange para la función f(x) = log(x) con el soporte s = {1, 2, 4, 6,8}. Determinar la función del error y acotar el error cometido al usar P (3) para aproximar el valor de log (3).

Solución.

Sabido que log(1) = 0; log(2) = 0.633147; log(4) = 2 log(2) = 1.386294; log(6) = 1.791759 y que log(8) = 3 log(2) = 2.079441, el polinomio interpolador es:
P(x) = −0.001768x4 + 0.038892x3 − 0.325901x2 + 1.425121x − 1.136444.
Para acotar la función error necesitamos laderivada cuarta de la función: f4(x) = 24/x5 .
En el intervalo I = [1, 8], puesto que es una función decreciente en el, ofrecerá su valor máximo en x =1 luego: M= 24.
Por tanto la función del error será:

є≤244! |(x − 1)(x − 2)(x − 4)(x − 6)| = |(x − 1)(x − 2)(x − 4)(x − 6)|

Para aproximar log(3) uso:

P (3) = −0.00176834 + 0.03889233 − 0.32590132 + 1.4251213 − 1.136444 = 1.112814

Conlo que el error:

є≤| (3 − 1)(3 − 2)(3 − 4)(3 − 6)| = 6.

Realmente la acotación resulta excesiva puesto que el valor “exacto” es log(3) = 1.098612 y el “error exacto:” 0.014202.

Ejemplos 3:
Obtener el polinomio interpolador de Lagrange para cierta función f(x) de la que conocemos: f(-2)=0; f(0)=1; f(1)=-1. Ídem por Newton, Diferencias Divididas. Escribirlo en la forma a0 + a1x + a2x2...