LAPLACE Y FOURIER

Transformada de LAPLACE Y FOURIER

INDICE

- Fourier

Definición de la transformada de Fourier.
Forma trigonométrica de la serie de Fourier.
Respuesta completa a funciones de excitación periódicas.
Forma compleja de la serie de Fourier.
La función del sistema y la respuesta en el dominio de la frecuencia.
Pares de Transformadas de Fourier para algunas funciones.
Propiedades de latransformada de Fourier.


- LaPlace

Definición de la transformada de Laplace.
Transformada de Laplace.
Transformada de Laplace de algunas funciones.
Propiedades de la transformada de Laplace.




FOURIER
Definición de la transformada de Fourier
Diremos que una función es continua a trozos si en cada intervalo finito es continua salvo en una cantidad finita de puntos donde lasdiscontinuidades son saltos.
Notaremos con al conjunto de dichas funciones, con a los elementos de que además son absolutamente integrables en ; i.e., y con . Estos dos últimos conjuntos son subespacios vectoriales de y respectivamente y por ello también normados con


Series Trigonométricas de Fourier
Cualquier onda periódica, es decir, aquella que cumpla que f (t) = f (t + T), podráexpresarse mediante una serie de Fourier siempre que:
Si es discontinua, tenga un número finito de discontinuidades dentro del periodo T.
Tenga un valor medio finito dentro del periodo T.
Incluya un número finito de máximos y mínimos dentro del periodo T.
Cuando se cumplan estas condiciones de Dirichlet, la serie de Fourier existe y puede escribirse en forma trigonométrica:(1)
Los coeficientes de Fourier, y , de una onda concreta, se determinan mediante integrales. Se obtienen los coeficientes de los términos coseno mediante la integral de ambos miembros de la igualdad (1) multiplicándolos por a lo largo de un periodo completo. El periodo de la frecuencia fundamental, , es el periodo pararealizar las integrales, ya que cada termino de la serie tiene una frecuencia múltiplo entero de la fundamental.

(2)

Las integrales definidas del segundo miembro de la igualdad (2) son cero, excepto aquellas que tengan un término de la forma , cuyo valor es . Por tanto,(3)
Multiplicando (1) por e integrando como anteriormente, se obtienen los coeficientes de los términos seno.
(4)

Una forma alternativa de realizar las integrales consiste en utilizar la variable , siendo el correspondiente periodo ,
(5)
(6)Donde . Las integrales pueden realizarse desde –T/2 a T/2, a o sobre cualquier otro periodo completo que pueda simplificar los cálculos. La constante se obtiene de (3) o de (5) con n = 0; sin embargo, como es el valor medio de la función, es frecuente que dicha constante pueda determinarse mediante un análisis de la forma de onda. La serie de Fourier con los coeficientes obtenidos de lasintegrales anteriores converge de modo uniforme al valor de la función en todos los puntos donde la función es continua y converge al valor medio en los puntos en los que la función es discontinua.

Respuesta completa a funciones de excitación periódicas
Sea una función periódica, de periodo a. Llamemos al primer ciclo.
Es decir:







La excitación se aplica a un circuito cuyatransferencia es H(s). Deseamos hallar, no la respuesta total, sino la respuesta en régimen. Suponemos por lo tanto que los polos propios están en el semiplano izquierdo. Buscamos algo similar al método simbólico para régimen sinusoidal.
Expresamos la excitación en Serie de Fourier: , con


La salida periódica es: que podemos escribir:

Este camino permite calcular fundamental, armónicos, pero...