Laplace

1.

Transformada de Laplace

Algunos problemas que involucran ecuaciones diferenciales no homogéneas con coeficientes constantes suelen tener
como parte no homogénea una función f (t) que no es continua. El análisis de estos problemas es más sencillo cuando
se utiliza el método de la transformada de Laplace.

1.1.

Definición de la Transformada de Laplace

Definition 1 (Transformada deLaplace) Sea f (t) una función con dominio en [0, ∞). La Transformada de
Laplace de f (t) es la función F (s) que se obtiene como sigue
Z∞
F (s) :=
f (t) e−st dt
(1)
0

Nótese que F (s) es una función en la variable s cuyo dominio consta de todos los valores de s para los cuales la
integral (1) existe es decir es convergente. Además (1) es una integral impropia, por lo que
Zn
Z∞
−st
f(t) e dt = l´m
ı
f (t) e−st dt
(2)
n→∞ 0

0

lo cual restringe las funciónes f (t) que para las cuales puede existir transformada de Laplace.
Notation 2 La transformada de Laplace de una función cualquiera se denota utilizando la letra mayúscula correspondiente a la función Transformada o utilizando notación de operadores como L {.}; por ejemplo la transformada
de Laplace de una funcióng (t) se denotaría como G (s) o L {g } (t).
Una primera forma de obtener la transformada de Laplace de una función, si es que esta tiene, nos la proporciona
la definición, es decir que si tenemos una función f (t) cualesquiera, su transformada de Laplace se obtiene evaluando
la integral dada en (1) o en forma equivalente (2) como en los siguientes ejemplos:
Example 3 Determine la transformadade Laplace de las siguientes funciones:
1. f (t) = et
Solution 4 Utilizando la definición
F (s) =

Z

∞

f (t) e−st dt

0

=

Z

∞

et e−st dt

Z0 ∞

e−t(s−1) dt
Zn
e−t(s−1) dt
= l´m
ı
n→∞ 0
µ
¶
1 − e−n(s−1)
= l´m
ı
n→∞
s−1
³
´
1
l´m 1 − e−n(−1+s)
ı
=
s − 1 n→∞
=

0

Evaluando el límite de la última expresión nos damos cuenta que
³
´
³
´
ı
l´m 1 −e−n(s−1) = l´m (1) − l´m e−n(s−1)
ı
ı
n→∞

n→∞

1

n→∞

de donde
l´m (1) = 1
ı

n→∞

y
l´m
ı

n→∞

³
´
e−n(s−1) = 0

siempre y cuando s > 1, de otra manera este límite no existiría.
Por lo tanto la transformada de Laplace de f (t) = et es
F (s) =

1
s−1

2. g (t) = 3
Solution 5 Utilizando la definición
G (s) =

Z

∞

g (t) e−st dt

0

=

Z

∞3e−st dt

0

Z

∞

e−st dt
Zn
e−st dt
= 3 l´m
ı
n→∞ 0
µ
¶
1 − e−ns
= 3 l´m
ı
n→∞
s
¡
¢
3
l´m 1 − e−ns
ı
=
s n→∞
=3

0

Evaluando el límite de la última expresión nos damos cuenta que
¡
¢
¡
¢
ı
ı
l´m 1 − e−ns = l´m (1) − l´m e−ns
ı
n→∞

n→∞

n→∞

de donde

l´m (1) = 1
ı

y

n→∞

¡
¢
l´m e−ns = 0
ı

n→∞

siempre y cuando s ≥ 0, de otramanera este límite no existiría.

Por lo tanto la transformada de Laplace de g (t) = 3 es

G (s) =

3
s

3. h (t) = sin (3t)
Solution 6 Utilizando la definición
Z∞
h (t) e−st dt
H (s) =
0
Z∞
sin (3t) e−st dt
=
0
¶n
µ
s
3
−st
−st
e cos (3t) − 2
e sin (3t)
= l´m − 2
ı
n→∞
s +9
s +9
0
¡ −st
¢n
1
l´m 3e cos (3t) − se−st sin (3t) 0
ı
= −2
s + 9 n→∞
¡
¢
1
l´m3e−sn cos (3n) + se−sn sin (3n) − 3
ı
= −2
n→∞
s +9
2

Evaluando el límite de la última expresión nos damos cuenta que
¡
¢
l´m 3e−sn cos (3n) + se−sn sin (3n) − 3 =
ı
n→∞

¡
¢
l´m 3e−sn cos (3n)
ı
¡
¢
+ l´m se−sn sin (3n)
ı
n→∞

n→∞

− l´m (3)
ı
n→∞

de donde
l´m (3) = 3
ı
n→∞
¡ −sn
¡
¢
¢
l´m 3e
ı
cos (3n) = 3 l´m e−sn cos (3n) = 0
ı

n→∞

−sn

n→∞

) =0 siempre y cuando s ≥ 0. Finalmente
ya que cos (3n) es una función acotada y l´mn→∞ (e
ı
¡ −sn
¡
¢
¢
l´m se
ı
sin (3n) = s l´m e−sn sin (3n) = 0
ı
n→∞

n→∞

siempre y cuando s ≥ 0 ya que sucede algo similar que en la función anterior.

Por lo tanto la transformada de Laplace de h (t) = sin (3t) es
H (s) =

1.2.

3
s2 + 9

Condiciones de Existencia de la Transformada...