Laplace

Cap´ ıtulo 8

La transformada de Laplace
8.1. Introducci´n a las transformadas integrales o

En este apartado aprenderemos un m´todo alternativo para resolver el problema de valores e iniciales (4.5.1) y (x) + py (x) + qy(x) = f (x), p, q ∈ R, y(x0 ) = y0 , y (x0 ) = y0 . (8.1.1)

La idea consiste en convertir de alguna forma la EDO en una ecuaci´n algebraica en general o m´s “sencilla” deresolver y luego invertir el proceso de forma que obtengamos la soluci´n a o buscada1 . ¿Es posible y si lo es, c´mo hacerlo? La respuesta la da una conocida transformada o integral. Para tener una idea de que es una trasformada integral consideraremos, por ejemplo, el espacio R[a,b] de las funciones f (x) integrables seg´ n Riemann en [a, b] y sea K(x, t) una u funci´n integrable en [a, b], paratodo t ∈ A ⊂ R. Entonces podemos definir para cada una o de las funciones de R[a,b] podemos definir un funcional2 T [f ] tal que
b

T [f ] =

K(x, t)f (x)dx = F (t).
a

La funci´n K(x, t) se suele denominar n´cleo de la transformaci´n y a F (t) transformada de o u o la funci´n f . Una propiedad inmediata de ´stas transformadas es que son lineales, es decir, o e cuales quiera sean los n´meros α y β y las funciones f (x) y g(x) de R [a,b] , u T [αf + βg] = αT [f ] + βT [g].

8.2.

La transformada integral de Laplace

Vamos a introducir ahora una transformada integral de especial importancia: la transformada de Laplace Definici´n 8.2.1 Sea f una funci´n definida en [0, ∞). La transformada de Laplace o o F(t) es la transformada integral F(t) = [f ](t) =
0
1
 

[f ] o

∞Es similar a la idea que llev´ a la apariaci´n de los logaritmos. O sea, convertir una operaci´n “complicada” o o o en otra m´s “sencilla” para luego, al invertir dicha operaci´n obtener el resultado. Es f´cil comprobar que a o a multiplicar dos n´ meros cualesquiera es mucho m´s complicado que sumarlos, de ah´ la utilidad e importancia u a ı que tuvieron las primeras tablas de logaritmos. 2 Unfuncional no es m´s que una funci´n definida sobre el espacio de funciones a o

 

e−tx f (x)dx,

(8.2.1)

153

154 donde la integral se entiende en el sentido impropio, o sea
∞ 0 z

Introducci´n a las EDOs o

e−tx f (x)dx = l´ ım

z→∞ 0

e−tx f (x)dx.

Antes de continuar debemos tener en cuenta que esta integral a diferencia de la transformada T [f ] anterior puede no estardefinida para ciertas funciones continuas pues aunque z exista la integral 0 e−tx f (x)dx para todo z puede que el l´ ımite no exista, o bien, que exista no para todo t ∈ R. Por ejemplo,   1 ∞ 2 2 , t>a ex −tx dx = ∞, ∀t ∈ R. , [eax ](t) = [ex ](t) = t−a  ∞, 0 s≤a Una pregunta natural es por tanto que clase de funciones tienen transformadas de Laplace. En este curso nos restringiremos a las funcionesde orden exponencial. Definici´n 8.2.2 Diremos que una funci´n f es de orden exponencial si existen dos conso o tantes no negativas c y M tales que |f (x)| ≤ M ecx para todo x ≥ 0. Teorema 8.2.3 Si f es una funci´n continua a trozos de orden exponencial entonces f tiene o transformada de Laplace para todo t suficientemente grande. Demostraci´n: Tenemos, para t > c, o |e−tx f (x)| = e−tx |f (x)| ≤ Me−tx+cx = M e−x(t−c). Pero la integral
∞ 0 z
   

e−x(t−c) dx = l´ ım

z→∞ 0

e−x(t−c)dx = l´ M ım
z→∞

e(c−t)z−1 M = , c−t t−c

luego por el criterio de comparaci´n de Weierstrass para las integrales impropias la integral o ∞ −tx f (x)dx es absolutamente convergente, y por tanto converge. N´tese adem´s que de o a 0 e la prueba se deduce que la transformada de Laplace existe para todot > c. La siguiente tabla de Transformadas de Laplace es de gran inter´s. En ella est´n las e a principales transformadas de Laplace que usaremos incluida la de la funci´n escal´n χ c (s) o o definida como 1 si x ∈ [0, c] y 0 en el resto. Proposici´n 8.2.4 Si F(t) = [f ](t) entonces o 1.
   

[f ](t) = t [f ](t) − f (0) = tF(t) − f (0),
n−1 k (n−k−1) (0) k=0 t f

2. [f (n) ](t) = tn F(t)...