leyes exponentes

Páginas: 9 (2101 palabras) Publicado: 2 de febrero de 2016
Leyes de exponentes y logaritmos

Facultad de Contaduría y Administración. UNAM

Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

MATEMÁTICAS BÁSICAS
LEYES DE EXPONENTES Y LOGARITMOS
LEYES DE EXPONENTES
Sea un número real x . Si se multiplica por sí mismo se obtiene x ⋅ x . Si a este resultado se multiplica
nuevamente por x resulta x ⋅ x ⋅ x . De manera sucesiva, si x se multiplica por si misma n veces,se
obtiene: x ⋅ x ⋅ x ⋅ ⋅ ⋅ x
n

veces

Para simplificar este tipo de expresiones se acostumbra utilizar una notación abreviada, tal que:

x ⋅ x = x2
x ⋅ x ⋅ x = x3
x ⋅ x ⋅ x ⋅ x = x4
x ⋅ x ⋅ x ⋅ x ⋅ x = x5
y en general:

x ⋅ x ⋅ x ⋅⋅⋅ x = xn
n veces

Donde x es llamada base y el número n escrito arriba y a su derecha, es llamado exponente. El
exponente indica el número de veces que la base setoma como factor.
Primera ley de los exponentes
Sea un número real x diferente de cero y dos números naturales n y m también diferentes de cero.
Entonces, se cumple que:

x n ⋅ x m = x n+ m
Al multiplicar potencias con la misma base, se mantiene la base y se suman los exponentes.
Ejemplos.

(x )(x ) = x = x
2) (4a )(5a ) = 20a
3) (2k )(− k )(5k ) = −10k
3

4) (8ab ) a b  = 6 a b
4

1)

3

2

64

5

8

2

3

5)

3+ 2

2

7

2

13

3 4

48 9 10
1
 6 3 5  8 6 4  1 
p q = − p 9 q10
 p q  − p q  q  = −
240
5
5
 4
 12 

1

Leyes de exponentes y logaritmos

Facultad de Contaduría y Administración. UNAM

Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

Segunda ley de los exponentes
Sea un número real x diferente de cero y dos números naturales n y m también diferentes de cero.Entonces, se cumple que:

xn
x

m

= x n−m

Al dividir potencias con la misma base, se mantiene la base y se restan los exponentes.
Ejemplos.

x7
1)

4

= x 7 −4 = x 3

x
10 a 8
= −2 a 5
2)
3
− 5a
− 28 k 7 m 3

3)

= 4k 2 m 2

− 7k m
2 6
a
8
3
= a2
4) 1
3
a4
4
5

− 32 x 3 y 6 z 7

2
= − xy 4 z 6
3
48 x y z

5)

2

2

Tercera ley de los exponentes
Sea un número real x diferente de cero. Si en la leyanterior, se hace que

xn
x

n

n = m , se tiene que:

= x n−n = x 0 .

Pero al dividir una expresión por si misma el resultado es la unidad, así que se cumple que:

x0 = 1
Cualquier base diferente de cero elevada a la potencia cero es uno.

x2
1)

2

= x 2−2 = x 0 = 1

x
0
2) 5a = 5(1) = 5

3)

(xyz )0 = 1

2

Leyes de exponentes y logaritmos

Facultad de Contaduría y Administración. UNAM

Autor:Dr. José Manuel Becerra Espinosa

27 a 3

=3
9a 3
x3 x4 x6
x13
=
= − x13−13 = − x 0 = −1
5)
6 7
13
−x x
−x

4)

Cuarta ley de los exponentes
Sea un número real x diferente de cero y dos números naturales n y m también diferentes de cero.
Entonces, se cumple que:

(x )

n m

= x n⋅m

Al elevar una potencia a otra potencia, se mantiene la base y se multiplican los exponentes.
Ejemplos.
1)

(x )

= x3(2 ) = x 6

3 2

( )
3) (e )

3 4

= a 3(4 ) a 12

5 3

= e 5 (3 ) = e15

2) a

Quinta ley de los exponentes
Sean dos números reales x y
Entonces, se cumple que:

y

diferentes de cero y un número natural n también diferente de cero.

(xy )n = x n y n
El producto de uno o más factores que se elevan todos a la vez a un exponente es igual a un producto de
cada factor elevado al exponente.Ejemplos.

( ) = 2 ⋅a
2) (− 3k ) = (− 3)
1) 2 a

2 5

5

10

4 3

3

= 32 a10
⋅ k 12 = −27 k 12

( ) = 5 ⋅ a b = 625 a b
4) (4 xy ) = 4 ⋅ x ⋅ y = 16 x y
5) (10m n p ) = 10 ⋅ m ⋅ n p
4

3
3) 5ab

4

2 2
5

2

2

3 6

4 12
2

4 12

6

6

2

30

12

6

18

= 1' 000 ,000 m 30 n12 p18

Sexta ley de los exponentes
Sean dos números reales x y
Entonces, se cumple que:

y

diferentes de cero y un número natural ntambién diferente de cero.

3

Leyes de exponentes y logaritmos

Facultad de Contaduría y Administración. UNAM

Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

n

x
xn
  = n ,
y
 y

y≠0

El cociente de uno o más factores que se elevan todos a la vez a un exponente es igual al cociente de
cada factor elevado al exponente.
Ejemplos.
2

x
x2
1)   = 2
y
 y

(ab ) = a 3b 3
 ab 
=
 
(cd...
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