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SECCIÓN 9.6 Inversas de matrices y ecuaciones matriciales

697

Luego se pueden escribir estas ecuaciones matriciales como
poblaciones alternan entre un mínimo y un máximo. Observe que si los
predadores se comen a su presa
demasiado rápido se quedarán sin
alimento y se encaminan a su propia
extinción.
Desde la época de Lotka y Volterra se han desarrollado modelos
matemáticos más detallados delas
poblaciones de animales. Por lo que
toca a muchas especies, la población
se divide en varias etapas: inmaduros, juveniles, adultos, etcétera. La
proporción de cada etapa que sobrevive o se reproduce en un tiempo dado se introduce en una matriz, que
se llama matriz de transición. Luego se usa la multiplicación de matrices para predecir la población en los
periodos exitosos. (Véase el Proyecto
paraun descubrimiento, página 688.)
Como se puede observar, el poder de las matemáticas para modelar
y predecir es una herramienta invaluable en el debate actual sobre el
ambiente.

AX ϭ B

Ecuación para los hamsters

AY ϭ C

Ecuación para los jerbos

Se quiere determinar X y Y, así que se multiplican ambos miembros de cada ecuación
por AϪ1, la inversa de la matriz de los coeficientes. Podemosdeterminar AϪ1 en
forma manual, pero es mejor usar una calculadora graficadora como se muestra en la
figura 3.

[A]-1*[B]

[A]-1*[C]
[3 ]
[12]]

Figura 3

[4 ]
[20]]

a)

b)

De acuerdo con los resultados que da la calculadora vemos que
10
X ϭ A B ϭ £ 3§,
12
Ϫ1

8
Y ϭ A C ϭ £ 4§
20
Ϫ1

Por lo tanto, cada hamster debe comer diario 10 g de KayDee Food, 3 g de Pet
Pellets y 12 g de Rodent Chow, y cadajerbo debe comer todos los días 8 g de
KayDee Food, 4 g de Pet Pellets y 20 g de Rodent Chow.

9.6

Ejercicios

1–4 ■ Calcule los productos AB y BA para verificar que B es la
inversa de A.
1. A ϭ c

2. A ϭ c

4 1
2 Ϫ1
d, B ϭ c
d
7 2
Ϫ7
4
2
4

5. A ϭ c

7
Ϫ3
Ϫ23
d, B ϭ c 2
d
Ϫ7
2 Ϫ1

1
3
4
3. A ϭ £ 1
Ϫ1 Ϫ3

Ϫ1
8
0 § , B ϭ £ Ϫ2
2
1

5–6 ■ Determine la inversa de la matriz y verifique que
AϪ1A ϭ AAϪ1 ϭI2 y BϪ1B ϭ BBϪ1 ϭ I3.

7–22
Ϫ3
1
0

4
Ϫ1 §
1

9 Ϫ10 Ϫ8
3 2
4
14 11 §
4. A ϭ £ 1 1 Ϫ6 § , B ϭ £ Ϫ12
1
1
Ϫ 12
2 1 12
2
2

7. c
9. c

11. c

■

7 4
d
3 2

1
3 2
6. B ϭ £ 0
2 2§
Ϫ2 Ϫ1 0

Determine la inversa de la matriz, si existe.

5 3
d
3 2
2
Ϫ5

5
d
Ϫ13

6 Ϫ3
d
Ϫ8
4

8. c

10. c

3 4
d
7 9

Ϫ7
4
d
8 Ϫ5

12. c 2 3 d
5 4
1

1

■

CAPÍTULO 9 Sistemas de ecuaciones y desigualdades

698

13. c

25. e0.4 Ϫ1.2
d
0.3
0.6

26. e

4 2 3
14. £ 3 3 2 §
1 0 1

2 4
1
15. £ Ϫ1 1 Ϫ1 §
1 4
0
5
7 4
16. £ 3 Ϫ1 3 §
6
7 5
1
2
3
17. £ 4
5
Ϫ1 §
1 Ϫ1 Ϫ10
2 1 0
18. £ 1 1 4 §
2 1 2

0 Ϫ2 2
19. £ 3
1 3§
1 Ϫ2 3
3 Ϫ2 0
20. £ 5
1 1§
2 Ϫ2 0
1
0
21. ≥
0
1

2
1
1
2

0
1
0
0

3
1
¥
1
2

1
0
22. ≥
1
1

0
1
1
1

1
0
1
1

0
1
¥
0
1

23–30 ■ Resuelva el sistema de ecuaciones transformándolo en
una ecuación matricial yusando la inversa de la matriz de los
coeficientes como en el ejemplo 6. Use las inversas de los ejercicios 7 a 10, 15, 16, 19 y 21.
23. e
24. e

5x ϩ 3y ϭ 4
3x ϩ 2y ϭ 0
3x ϩ 4y ϭ 10
7x ϩ 9y ϭ 20

2x ϩ 5y ϭ 2
Ϫ5x Ϫ 13y ϭ 20
Ϫ7x ϩ 4y ϭ 0
8x Ϫ 5y ϭ 100

2x ϩ 4y ϩ z ϭ 7
27. • Ϫx ϩ y Ϫ z ϭ 0
x ϩ 4y
ϭ Ϫ2
5x ϩ 7y ϩ 4z ϭ 1
28. • 3x Ϫ y ϩ 3z ϭ 1
6x ϩ 7y ϩ 5z ϭ 1
Ϫ2y ϩ 2z ϭ 12
29. • 3x ϩ y ϩ 3z ϭ Ϫ2
x Ϫ 2y ϩ 3zϭ 8
x ϩ 2y ϩ
3„ ϭ 0
yϩzϩ „ϭ1
30. d
yϩ
„ϭ2
x ϩ 2y ϩ
2„ ϭ 3
31–36 ■ Mediante una calculadora que puede ejecutar operaciones con las matrices resuelva el sistema, como en el ejemplo 7.
x ϩ y Ϫ 2z ϭ 3
5z ϭ 11
31. • 2x ϩ
2x ϩ 3y
ϭ 12

3x ϩ 4y Ϫ z ϭ 2
32. • 2x Ϫ 3y ϩ z ϭ Ϫ5
5x Ϫ 2y ϩ 2z ϭ Ϫ3

12x ϩ 21 y Ϫ 7z ϭ 21
33. • 11x Ϫ 2y ϩ 3z ϭ 43
13x ϩ y Ϫ 4z ϭ 29
x ϩ 12 y Ϫ 31 z ϭ 4
34. • x Ϫ 41 y ϩ 61 z ϭ 7
xϩ y Ϫ z ϭ Ϫ6

xϩ y
Ϫ 3„ ϭ
x
Ϫ 2z
ϭ
35. d
2y Ϫ z ϩ „ ϭ
2x ϩ 3y
Ϫ 2„ ϭ

0
8
5
13

x ϩ y ϩ z ϩ „ ϭ 15
xϪ yϩ zϪ „ϭ 5
36. d
x ϩ 2y ϩ 3z ϩ 4„ ϭ 26
x Ϫ 2y ϩ 3z Ϫ 4„ ϭ 2

SECCIÓN 9.6 Inversas de matrices y ecuaciones matriciales

37–38 ■ Resuelva la ecuación matricial multiplicando cada
miembro por la matriz inversa adecuada.
37. c

3 Ϫ2 x y z
1 0 Ϫ1
d c
d ϭ c
d
Ϫ4
3 u √ „
2 1
3

0
38. £ 3
1
39–40

Ϫ2...