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Cap´ ıtulo 2 Relaciones y Funciones
2.1. Producto Cartesiano

Definici´n o El producto cartesiano de A y B, se define por A × B = {(a, b)/a ∈ A ∧ b ∈ B} A y B conjuntos dados , A × B se lee A cruz B (a, b) es un par ordenado, recuerde que a es el primer elemento del par y b es el segundo, en consecuencia (a, b) = (b, a) N´mero de elementos u Sea m el n´ mero de elementos de A (es decir sucardinalidad) y n el n´ mero u u de elementos de B, entonces mn es el n´ mero de elementos de los productos u A×B y B×A Gr´fico a Como los elementos de A × B son pares ordenados se acostumbra graficar dicho conjunto en un sistema de coordenadas rectangulares, es decir

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y elementos de b (a,b) b

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elementos de a 0 a x

Figura 2.1: Sistema decoordenadas

Ejemplo1 Los gr´ficos siguientes representan a ciertos productos cartesianos dados. a Notemos que en el caso de la figura 2.2 el n´ mero de elementos de AxB es u finito (en este caso 7), en tanto que en los casos de las figuras 2.3 y 2.4 dicho n´ mero es infinito. u
y y y

x x x x x 0 x x x

.
x 0 0 x

Figura 2.2 Propiedades 1

Figura 2.3

Figura 2.4

1. A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A× C) 2. A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C) 3. A × (B − C) = (A × B) − (A × C)

2.2.

Relaciones

Definici´n o R es una relaci´n de A en B si y solo si: R ⊆ A × B. o As´ notemos que los elementos de una relaci´n son pares ordenados. ı, o

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Notaci´n o 1. R es una relaci´n de A en B, tambi´n se denota por R : A → B o e 2. Si el par (x, y) pertenece ala relaci´n R, se acostumbra a denotar por o (x, y) ∈ R ∨ xRy ∨ y = R(x) Dominio y Recorrido Sea R ⊆ A × B una relaci´n, se definen: o Dominio de R por el conjunto Dom R = {x ∈ A/∃y ∈ B : (x, y) ∈ R} Recorrido de R por el conjunto Rec R = {y ∈ B/∃x ∈ A : (x, y) ∈ R} Es claro que Dom R ⊆ A y que Rec R ⊆ B Ejemplo 2 Sea R : A → A una relaci´n, donde A={1, 2, 3..., 10} dada por o R = {(1, 1), (1, 2),(1, 3), (2, 4), (2, 5), (7, 6)} esta relaci´n tiene un n´ mero finito de elementos. Note que: Dom R={1,2,7} o u y Rec R={1,2,3,4,5,6} Ejemplo 3 Sea S : R → R , definida por S = {(x, y)/x + 2y = 12} esta es una relaci´n con infinitos elementos y que Dom S = Rec S = R o Ejemplo 4 Sea S : Z → Z , definida por (x, y) ∈ S ⇔ x2 + y 2 = 1 N´tese que x e y son enteros por tanto esta relaci´n solo consta de 4elementos, o o que son: (1,0), (0,1), (-1,0) y (0,-1), donde Dom S = {−1, 0, 1} = Rec S o En este mismo ejemplo si en lugar de Z se toma R la relaci´n contiene infinitos pares ordenados y Dom S = {x ∈ R/ − 1 ≤ x ≤ 1} Rec S = {y ∈ R/ − 1 ≤ y ≤ 1}

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Definici´n o Sean R : A → B y S : B → C dos relaciones. Se define la composici´n de o R con S, que sedenota por S ◦ R, como S ◦ R = {(x, y)/∃z ∈ B : (x, z) ∈ R ∧ (z, y) ∈ S} Ejemplo 5 Sean A={1,2,3,4,5} , B={1,2,3} y C={1,4,5,8} y R={(1,2),(3,2),(4,1)} y S={(2,1),(3,1),(2,4),(3,5)} Note que (1,2) ∈ R ∧ (2,1) ∈ S ⇒ (1,1) ∈ S ◦ R. As´ se obtiene que S ◦ R={(1,1),(1,4),(3,1),(3,4)} ı Ejemplo 6 Sean R y S relaciones en R, definidas por R = {(x, y)/y = 2x + 1} as´ (x, y) ∈ SoR ⇔ ∃ z ∈ R : (x, z) ∈ R ∧(z,y) ∈ S ⇔ z = 2x + 1 ∧ y = z 2 ı, de donde y = (2x + 1)2 , luego S ◦ R = {(x, y)/y = (2x + 1)2 } Propiedades Sea R : A → A una relaci´n, se define las siguientes propiedades o 1. Refleja ∀x ∈ A : (x, x) ∈ R 2. Sim´trica x, y ∈ A : (x, y) ∈ R ⇒ (y, x) ∈ R e 3. Transitiva x, y, z ∈ A : (x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ R ⇒ (x, z) ∈ R 4. Antisim´trica x, y ∈ A : (x, y) ∈ R ∧ (y, x) ∈ R ⇒ x = y e 5. Irrefleja ∀x ∈ A: (x, x) ∈ R / Definici´n o Sea R : A → A una relaci´n o 1. Se dice que R es una relaci´n de equivalencia si y solo si, es: Refleja, o Sim´trica y Transitiva. e 2. Se dice que R es una relaci´n de orden parcial si y solo si, es: Refleja, o Antisim´trica y Transitiva. e 3. Se dice que R es una relaci´n de orden total (estricto) si y solo si, es o Irrefleja, Transitiva y Antisim´trica. e S = {(x,...