Licenciado

Derivadas e integrales
´
Alvarez S., Caballero M.V. y S´ nchez Ma M
a
salvarez@um.es, m.victori@um.es, marvega@um.es
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Indice
1. Definiciones

Contenidos

3

2. Herramientas
2.1. Reglas de derivaci´ n .
o
2.2. Crecimiento y extremos
2.3. Representaci´ n gr´ fica
o
a
2.4. C´ lculo de primitivas .
a
´2.5. C´ lculo de areas . . . .
a

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5
5
8
9
10
12

3. Ejercicios resueltos

13

4. Ejercicios propuestos

46

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I

1.

Definiciones
Derivada de una funci´ n: Sea la funci´ n f (x), si el l´mite siguiente existe
oo
ı
∆y
f (x0 + ∆x) − f (x0 )
f (x) − f (x0 )
= l´
ım
= l´
ım
x→x0
∆x→0 ∆x
∆x→0
∆x
x − x0

f (x0 ) = l´
ım

se dice que la funci´ n es derivable en x0 y f (x0 ) es el valor de la derivada de f en
o
el punto x0 .
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Recta tangente: Sea y = f (x) una funci´ n derivable en x0 ∈ Dom(f ), la recta
o
tangente a lafunci´ n en el punto x0 , es la recta que pasa por el punto (x0 , f (x0 )) y
o
cuya pendiente es f (x0 ).
Punto cr´tico: Sea y = f (x) una funci´ n derivable en x0 ∈ Dom(f ). Se dice que
ı
o
x0 es un punto cr´tico de f cuando f (x0 ) = 0.
ı
M´ ximo relativo: Una funci´ n y = f (x) tiene un m´ ximo relativo o local en x0
a
o
a
cuando para puntos x pr´ ximos a x0 se verifica que
o
f (x)≤ f (x0 ).
M´nimo relativo: Una funci´ n y = f (x) tiene un m´nimo relativo o local en x0
ı
o
ı
cuando para puntos x pr´ ximos a x0 se verifica que
o
f (x) ≥ f (x0 ).
Extremo relativo: Es un m´ ximo o un m´nimo relativo.
a
ı

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M´ ximo absoluto: Una funci´ n y = f (x) tiene un m´ ximo absoluto (o global) en
a
o
a
x0 cuando para cualquier x ∈ Dom(f ) se verifica que f (x) ≤ f(x0 ).

M´nimo absoluto: Una funci´ n y = f (x) tiene un m´nimo absoluto (o global) en x0
ı
o
ı
cuando para cualquier x ∈ Dom(f ) se verifica que f (x) ≥ f (x0 ).
Primitiva de una funci´ n: F (x) es una primitiva de una funci´ n continua f (x) si
o
o
F (x) = f (x).
Integral indefinida: La integral indefinida de una funci´ n continua f (x) es el cono
junto de todas sus primitivas. Si F(x) es una primitiva de f (x), la integral indefinida
de f (x) se escribe
Contenidos

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f (x)dx = F (x) + cte.
Integral definida: Si f (x) es una funci´ n continua en un intervalo [a, b] y F (x) una
o
primitiva cualquiera de f (x), la integral definida de f (x) entre a y b es el n´ mero
u
real
b

f (x)dx = F (b) − F (a) (Regla de Barrow).

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2.

Herramientas

2.1.

Reglas de derivaci´ n
o

1. Derivada de la funci´ n constante: y = f (x) = K =⇒ y = f (x) = 0.
o
2. Derivada de la funci´ n potencia: y = f (x) = xn , n ∈ R =⇒ y = f (x) = nxn−1 .
o
3. Derivada de la funci´ n logaritmo: y = ln x =⇒ y = f (x) =
o

1
.
x

Contenidos

4. Derivada de la funci´ n exponencial: y = ex =⇒ y = f (x) = ex .
o´
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5. Si f (x) es una funci´ n derivable, entonces la funci´ n y = λf (x) es derivable y su
o
o
derivada vale y = λf (x).
6. Derivada de la suma: Si f (x) y g(x) son funciones derivables, entonces (f + g)(x)
es derivable y
(f + g) (x) = f (x) + g (x).

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Ejemplo 2.1 Hallar la funci´ n derivada de la funci´ n f (x) = x + 1.
o
o
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