licenciado






ESPACIO VECTORIAL




Bachiller
GONZALEZ, Edgar Y.




Barinas, Marzo de 2014
ESPACIO VECTORIAL

  Un espacio vectorial es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y una operaciónexterna (llamada producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y otro conjunto, con estructura de cuerpo), con 8 propiedades fundamentales. Un espacio vectorial es una terna (V,+,·), donde V es un conjunto no vacío y +,· son dos operaciones del tipo + : V × V → R, · : R × V → V a las que llamaremos ’suma de vectores’ y ’producto por escalares respectivamente y con las siguientes propiedades:denotando +(u, v) = u+v y ·(λ, v) = λv,
Ejemplo:
El plano cartesiano  de puntos de la forma  con, es un espacio vectorial real respecto de las siguientes operaciones:

Sea  un número natural. El espacio  de n-plas ordenadas de números reales en la forma  es un espacio vectorial real respecto de las siguientes operaciones:





Un espacio vectorial sobre un cuerpo K \; (como elcuerpo de los números reales o los números complejos) es un conjunto V \; no vacío, dotado de dos operaciones para las cuales será cerrado:

1) Propiedad Conmutativa

Ejemplo:

2) Propiedad Asociativa


Ejemplo:



3) Elemento Neutro

Ejemplo:

4) Elemento Opuesto

Ejemplo:



5) Propiedad Asociativa

Ejemplo:
Tenga la propiedad asociativa:Es Decir:

6) Elemento Neutro

Ejemplo:
 Sea elemento neutro en el producto:
, que resulta

7) Propiedad Distributiva (respecto a la suma de vectores)

Ejemplo:
Por la izquierda:





De esta manera tenemos que:

8) Propiedad distributiva (respecto la suma de escalares)

Ejemplo:
Por la derecha de esta manera:

Tal que:








SUB- ESPACIOVECTORIAL

Dado un espacio vectorial V, se dice que un subconjunto S de V es un subespacio vectorial si contiene al vector K, y si al efectuar las operaciones de suma y producto por escalar entre vectores de S, el resultado permanece en S. 0 (Se puede decir que S es “cerrado” para las operaciones suma y producto por escalar.) Es decir:
• 0∈ S . K
• Si v, w ∈ S entonces v + w ∈ S.
•Si v ∈ S y λ es un escalar, entonces λv ∈ S.
Ya no hace falta comprobar que se cumplen las propiedades asociativa, conmutativa, etc. puesto que sabemos que se cumplen en V, y por tanto también en S (se dice que S “hereda” las propiedades de las operaciones en V). Por supuesto si para V utilizamos escalares reales, también para S; si para V utilizamos complejos, también para S.
Ejemplos desubespacios.
1) La recta x=y es un subespacio de. Está formado por los vectores de la forma (a,a). 2 ℜ
Contiene al vector (0,0).
Además, es cerrado para la suma y producto por escalar:
• Suma: (a,a) + (b,b) = (a+b, a+b) que también es un elemento de la recta.
• Producto por un escalar: λ∈ℜ , λ(a,a) = (λa, λa) que también es un elemento de la recta.
2) El plano XY es un subespacio de ℜ.Está formado por los vectores de la forma (x,y,0). 3
Contiene al vector (0,0,0).
Además, es cerrado para la suma y producto por escalar:
• Suma: (x,y,0) + (x’,y’,0) = (x+x’, y+y’, 0) que también es un elemento del plano.
• Producto por un escalar: λ∈ℜ , λ(x,y,0)=(λx, λy, 0) que también es un elemento del plano.
Podemos decir que este plano “es como ” pero incluido en ℜ .

DEPENDENCIA EINDEPENDENCIA LINEAL

Dependencia lineal.
Se dice que un conjunto de vectores es linealmente dependiente (o ligado) si: (a) Al menos uno de ellos es combinación lineal de los demás. Esto se puede expresar también así:
(b) El vector 0 es combinación lineal de ellos (con coeficientes no todos nulos).
Ejemplo
Sean en los vectores u=(1,1), v=(0,3), w=(2,5) . 2 ℜ
• Observamos que son...