Limites Fundamentales


De la desigualdad 0 < | x - c | < δ se obtiene lo siguiente:
1. x pertenece a la vecindad ( c - δ , c ) U ( c, c + δ ).
2. x no es igual a c, pues 0 < | x - c | implica x distinto de c.
3. Lasolución de | f(x) - L | < ε pertenece al intervalo ( L - ε , L + ε ).
Esto proporciona la clave de comprensión del concepto de límite, pues mientras que el valor de x está en la vecindad horizontalalrededor del punto c y agujereada en c con radio delta y centro c, aun cuando en ese punto c no esté definida, el valor de y está en el intervalo vertical con centro en f(c) y radio épsilon.
Unicidad dellímite
Teorema. Si el límite de una función existe, entonces es único.
Este teorema es válido en espacios topológicos Hausdorff.
Supóngase que  y también que  siendo L y L' distintos; se debe decomprobar que no puede ser que  verificándose la definición de límite. Para ello se toma un entorno E de L y un entorno E' de L' que no se intersequen. Por definición de límite  para todo x en algún entornoagujereado de c, por lo que no puede estar en E', evitando que el límite sea L'.
Límites laterales

El límite cuando: x → x0+ ≠ x → x0-. Por lo tanto, el límite cuando x → x0 no existe.
Tomemos ahoraun punto x del dominio de f aproximándose a c, pero tomando sólo valores más grandes que él. Formalmente estaríamos tomando los x que verifican , para ciertos . Si la función tiende a un valor , sedice que «existe el límite por derecha» y se denota así

Tomando valores más pequeños, es decir los x tales que , el límite puede ser escrito como:

Si los dos límites anteriores son iguales:entonces L se pueden referir como el límite de f(x) en c. Dicho de otro modo, si los límites laterales no son iguales, entonces el límite no existe. Esto se deduce porque, bajo estas condiciones, el límite nosería único.
Estas nociones permiten definir la continuidad y derivabilidad de una función en un punto.
Límites infinitos
Existen varios casos de límites de funciones que involucran la noción del...