limites notables

Facultad de Ingeniería

Matemática I

Guía de Teoría y Práctica
Matemática I
Semana Nº 6

LIMITES TRIGONOMÉTRICOS
Límites trigonométricos.
Se conocen así a aquellos límit es en los cuales intervienen las f unciones trigonométricas

¿ Lim cos x  ?

¿ Lim senx  ?

x0

x0

Límites notables.
Se conocen así a aquellos límit es que se dan por cierto sin previa demostraciónsenx
1
x 0 x

b) Lim
x0

Lim

a)

1  cos x
x2



1
2

“A partir de estos límites podemos resolver diversos límites trigonométricos”
Recomendación: estudiar las identidades trigonométricas
Ejemplos.
1) Lim

tg x
sen x 1
sen x
1
1
= Lim
= Lim
= 1 = 1.
Lim
x 0
x
x  0 cos x
x
x cos x
x
1

2) Lim

sen kx
senkx
 Lim k
k . 1
x 0
x
kx

3) Lim sen 8 x
sen 8 x
4x 8x 
 Lim 


= 1 1 2 = 2.
x 0
tg 4 x
tg 4 x 4 x 
 8x


x 0

x 0

x 0

sen Ax
sen Ax
Lim
senAx
A Ax
A x 0 Ax
A 1 A
4) Lim
= Lim
=
=
= .
x 0 senBx
x 0 B sen Bx
sen Bx
B
B 1 B
Lim
x 0
Bx
Bx

1

Facultad de Ingeniería

Matemática I

Problemas propuestos
NIVEL 1

c) Lim (1- x) tg
x 1

Rpta.

x
2

Rpta.3

b) Lim
x 0

k) Lim
x0

2 arc sen x
.
3x
tg x - sen x

x3

xSen senx
)
1  Cos ( senx)

m) lím(
x0

o) lím (

x
2

q) lím
x


2

2
1

)
2
cos x 1  senx

Rpta. 1/9

2

k

d) Lim  cos 
Rpta. 0
x  
x
e ax - e bx
f) Lim
x  0 sen ax - sen bx

x

g) Lim 1 + cos x  3 sec x

x
2
i) Lim
x0

x

x

2


sen(a+ x) - sen (a- x)
Rpta. 2Cos(a)
x

e) Lim
x0

x
3

sen 2

1- 2 cos x
a) Lim

 
x
3 sen  x- 
 3

h) Lim
.
x  0 1 - cos x



j) Lim 1 + 3 tg 2 x
x0
l) lím(
x0

 cotg

2

x

2
1

)
Sen x  1 Cosx
2

1  x3
x  1 sen(1  x 4 )
xSen senx
p) lím(
)
x  0 1  Cos ( senx )
n) lím

x2  4

cos
4

NIVEL 2
 tg (1  cos( x )) 1) lím 

x cos(tg ( x ))  1



 sen(a  2 x )  2 sen(a  x )  sen(a ) 
2) lím 

x 0 
x2


 arctg (2 x) 


 sen(3 x) 
2
1
5) lím (

)
2
x  0 Sen x  1
Cosx
3) lím
x0 

7) lím (
x0

Cot 2 x
)

Tan(  x)
2

xSen senx

9) lím(
x0

1  Cos ( senx)

13) lím (
x 0

x  0

( x  Senx
)
Tan 3 x
1  cos x
8) lím(
)
x01  cos x
6)

lím(
x0

10) lím (
x 0

x2

)

1  xsenx  cos x

sen8 x  sen 2 4 x
)
x2

1  cos x cos 2 x cos3 x
12) lím (
)
x0
1  cos x

1  cos x  x 2  2  2
x2

14) lím

11) lím (
x 0

)

 arctg ( cos( x )  1) 


 arcsen( cos( x)  1 ) 

4) lím 

x0

2

cos x cos 2 x  1
sen2 x  senx cos 2 x

Facultad de Ingeniería
2  1 cos x
)(1  cos x} cos s 2 x )
x (senx)2

15) lím (
x 0

1  x3
x1 sen (1  x 4 )

17) lím

19) lím

sen( x )
x2  4

21) lím

sen(cos x )
cot x

x2


x
2

x2  4


x cos
2
4

cos x
2 )
25) lím(
x 1 1  x

Matemática I
tan 2 x

cot(  x)
4
tan(1  x 2 )
18) lím
x1
1  x3

2  sec
x
20) lím
x 2
x3

16) lím


x
422) lím


x
2

1  senx  cos x
senx  1  cos x

24) lím (

23) lím


x
2

26) lím (
x


6

2
1

)
2
cos x 1  senx

2 sen 2 x  senx  1
)
2sen 2 x  3senx  1



 
)
 (arcsenx  )( arcsenx 
2
2 
27) lím 
x 1

x1 





 2 x(arcsenx )2  tan x  senx 
28) lím 

x3
x0  


 arcCos(1  x) 
29) lím 


x0 
2 x  x2 

30) lím (

31) lím(1  x)(tan(
x 1

x
)
2

1  cos x cos 2 x cos 3 x
33) lím (
x 0
1  cos x

34) Lim sen(a  2x)  2sen(a  x)  sena
x 0
x2

x 0

32) lím (
x0

x 0

3

1  xsenx  cos x

sen 2 8 x  sen 2 4 x
)
x2

34) Lim
x 0
35) lim

x2

2 x( arcsenx ) 2  tgx - senx
x3

arcSenx  arcTgx
x2

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