Limites

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En este curso de Matemática 1, al finalizar el tema de funciones reales estamos en la frontera entre lo que comunmente se le llama Precálculo (Matemáticas previas al Cálculo) y el Cálculo. Pero nos planteamos la pregunta ¿qué es el Cálculo?. Para tener una idea inicial de lo que trata, diremos que el Cálculo es lamatemáticas que aplica en el estudio del cambio (velocidad y aceleración). También se encarga del estudio de: pendientes, recta tangente, área, volumen, longitud de arco, centro de masa, concavidad, entre otros conceptos. Por esta amplia variedad de aplicaciones el Cálculo resulta imprescindible para un ingeniero. Veamos algunas diferencias entre las aplicaciones del Precálculo y del Cálculo.h•ˆ“¡ˆ™G Œ“G ”–”Œ•›–G ‹Œ G œ•G –‰‘Œ›–G ˜œŒG šŒ G h•ˆ“¡ˆ™G “ˆ G Œ“–Š‹ˆ‹G ‹ŒG œ•G –‰‘Œ›–G Š–•G œ• GG ‹ŒG “ˆG šŒG œ•GG ”œŒŒGŠ–•GŒ“–Š‹ˆ‹GŠ–•š›ˆ•›ŒUG ”œŒŒGŠ–•GŒ“–Š‹ˆ‹GŠ–•š›ˆ•›ŒUG jˆ“Šœ“ˆ™G“ˆG—Œ•‹Œ•›ŒG‹ŒGœ•ˆG™ŒŠ›ˆUG jˆ“Šœ“ˆ™G“ˆG—Œ•‹Œ•›ŒG‹ŒGœ•ˆG™ŒŠ›ˆUG ”–”Œ•›–GGˆŠŒ“Œ™ˆ‹–UG ”–”Œ•›–GGˆŠŒ“Œ™ˆ‹–UG jˆ“Šœ“ˆ™G “ˆG —Œ•‹Œ•›ŒG ‹ŒG œ•ˆG Šœ™ˆG Œ•G œ• G—œ•›–G œ•G—œ•›– G Šœˆ“˜œŒ™ˆUG Šœˆ“˜œŒ™ˆUGl•Š–•›™ˆ™G “ˆG ™ŒŠ›ˆG ›ˆ•ŽŒ•›Œ G ›ˆ•ŽŒ•›ŒG ˆG œ•ˆ G l•Š–•›™ˆ™G“ˆG›ˆ•ŽŒ•›ŒGˆGœ•ˆGŠœ™ˆGŒ•Gœ•G—œ•›–UGG œ•ˆG l•Š–•›™ˆ™G“ˆG›ˆ•ŽŒ•›ŒGˆGœ•ˆGŠœ™ˆGŒ•Gœ•G—œ•›–UGG

Introducción

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1. Idea intuitiva de límite
Consideremos la función f ( x ) =

saber que ocurre con f(x) cuando x se aproxima a cero, esto es necesario si se quiere representar la función gráficamente. Para tener una idea clara del comportamiento de la función en las cercanías de x = 0, se construye una tabla de valores dándole a x valores cercanos a cero tanto por la izquierda comopor la derecha.
x se aproxima a 0 por la derecha x f(x) 1 1,7182 0,5 1,2974 0,2 1,1070 0,1 1,0517 0,05 1,0254 0,01 1,0050 x se aproxima a 0 por la izquierda -0,01 0,9950 -0,05 0,9754 -0,1 0,9516 -1 0,6321

e x −1 cuyo dominio es R - {0} y supóngase que queremos x

0 ¿?

f(x) se aproxima a 1

f(x) se aproxima a 1

Como puede observarse en la tabla f(x) se acerca a 1 cuando x tiende acero. En el lenguaje de límites se dice que “el límite de f(x) cuando x tiende a cero es 1” y se escribe así:
x →0

lim f ( x ) =1

Una observación importante es que en este caso x no puede igualarse a cero, pero si puede acercarse a cero tanto como se desee.

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La figura anexa es la representación
x f ( x ) = e −1 , en x ella no sepuede apreciar que el punto (0,1) no está en el gráfico, a pesar de haber sido realizado con un buen software de cálculo. Resulta interesante plantearse por qué no se observa este detalle

gráfica de la función

Consideremos ahora la función parte entera límite de g(x) cuando x tiende a 2.

g ( x ) = [ x ]. Si nos preguntamos cuál será el

Se sabe que si x se aproxima a 2 por la izquierdaentonces por la derecha entonces

[ x ]= 2 así que

[ x ]=1 y si x se acerca al valor 2

x→2

lim g ( x ) no existe

2. Límite de una función en un punto
2.1) LIMITE EN UN PUNTO
2.1.1) Una definición informal de límite
Decir que el número real L es el límite de la función f cuando su variable independiente x se acerca al número a, significa que la distancia entre f(x) y L puede hacersetan pequeña como queramos, a condición de que x se encuentre suficientemente cerca de a por cualquiera de sus lados, pero no igual que a.

2.1.2) Definición de límite finito Sean, f una función real con dominio Df y L un número real. Diremos que la función f tiene límite L cuando x tiende al valor a, si para cada ε>0, existe δ>0 tal que si x∈D f y 00 existe δ>0...