limites

Límites

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Límite Funcional
Sea f una función definida en un intervalo abierto que contenga al punto “a”, sin ser necesario que
este definida en dicho punto, o sea definida en una entorno reducido de “a”. Sea “L” un número
real:
L es el límite de f cuando x tiende al valor “a”, o lo que es lo mismo, L es el valor al que se acerca
f(x) cuando x se acerca al valor “a”; f(x)puede hacerse tan próximo al valor “L” como queramos
tomando a x suficientemente próximo al valor “a”
Definición:
Sea una función f :A  R /y=f(x) y x=a un punto de acumulación de A:
Lím f (x)  L    0()  0 / x : x  A  0  x  a    f (x)  L  
x a

expresado de otro modo:
Lím f (x)  L    0()  0 / x : x  A  E' (a; )  f ( x)  E(L; )
x a

y
y=f(x)
L+L
L-

a- a a+

O

x

Ejemplo:
Probar por definición: Lím 3  5x   2
x 1

Relación entre  y 
Lím3  5x   2    0()  0 / x : x  Df  0  x  1    3  5x  (2)  
x 1

3  5x  (2)   5x  5   5( x  1)   5 x  1  5 x  1    x  1 




5
5




 x  1     x  1   5 x  1    5x  5     5x  5   5
5
5
  5x  3  2    3  5x  (2)  
Propiedades de los límites
1. Unicidad del límite:
Lím f (x)  L1  Lím f ( x)  L 2  L1  L 2
D) Si  

x a

x a

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2. Si una función posee límite finito en x=a entonces existe un entorno reducido con centro en a
en donde la función esta acotada.

Lím f ( x)  L  E´(a ) / f (x )  k  k  R 
x a3. Conservación del signo del límite
Si una función posee límite finito y no nulo en un punto x=a entonces existe un entorno reducido de
x=a en donde la imagen de la función posee el mismo signo que el límite:

Lím f (x)  L  L  0  E´(a; ) / x  E´(a; ) : sg(f (x))  sg(L)
x a

Supongo L>0
Lím f ( x )  L  L  0    0, ()  0 / x : x  Df  0  x  a    f ( x )  L   x a

  L  0, ()  0 / x : x  Df  0  x  a    f ( x )  L    L 
 L  f ( x )  L  L  L  L  f ( x )  L  L  0  f ( x )  2L  x  E´(a; ) :f ( x )  0
Si L0)

n

x a

Logaritmación: Si L1>0

Lím Log b f (x)  Log b (L1 )
x a

Límite fundamental trigonométrico
Lím
x 0

sen x
1
x

sen x
tg x

sg(sen x)=sg(x)

  
x    ;  : senx  x  tgx
 2 2
sen x
x
tgx
sen x
x
1
x0 :


 1

 1 
 cos x 
sen x
sen x sen x
sen x cos x
x

sen x
 1  Lím cos x  1  Lím 1  1 
x 0
x 0
x
sen x
 Lím
 1 ( T. Intercalación )
x 0
x

 cos x 

y

1,5

1

f(x)=(senx)/x

0,5

0
-20

-15

-10

-5

0
-0,5

5

10

15

x

20

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Límiteslaterales:
y
y

y=f(x)
y=f(x)

Li+

Ld+

Li
Ld

a-

a

a

x

a+

x

Por izquierda: Lím f (x)  Li    0()  0 / x : x  A  a    x  a  f (x)  Li  

x a

Por derecha: Lím f (x)  Ld    0()  0 / x : x  A  a  x  a    f (x)  Ld  

x a

Ejemplo:

e x

Sea f ( x )   2
x


si x  1
si x  1
si x  1

Lím f ( x ) Lím e x  e


x 1

x 1

Lím f ( x )  Lím x  1


x 1

x 1

Condición necesaria y suficiente para la existencia del límite de una función en un punto.
Lím f ( x)  L   Lím f ( x)  Li   Lím f (x)  Ld  Li  Ld


x a

x a

x a

Ejemplo:
 sen ( x  2)

Sea f : R  2  R / f ( x )   x  2
 e x 2


si x  2
si x  2

sen ( x  2)
sen ( t ) Lím
 1  Lím f ( x )  1

x 2
t 0
x 2 
x2
t
Lím e x  2  Lím e z  1  Lím f ( x )  1



Lím


x 2

z 0

x 2

 Li  Ld  1  Lím f ( x )  1
x 2

Límite Infinito
Lím f (x)    M  0(M)  0 / x : x  (Df  E´(a; ))  f (x)  M
x a

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y
M

x

a

Ejemplo:
x
Lím
 
x 1 ( x  1) 2
Límites en el...