limites

CAP´ITULO III.
L´IMITES DE
FUNCIONES
SECCIONES
A. Definicion de lımite y propiedades basicas.
B. Infinit´esimos. Infinit´esimos equivalentes.
C. L´ımites infinitos. As´ıntotas.
D. Ejercicios propuestos.

Un número real L se dice límite de una función y = f(x) en un punto x = c
si los valores de la función se van acercando a L cuando x toma valores cada
vez más próximos a c. Simbólicamentese expresa por:
l´ımx→c
f(x) = L ⇐⇒ ∀ε > 0, ∃δ > 0 tal que |f(x) − L| < ε si 0 < |x − c| < δ.
Debemos tener en cuenta que no importa en este caso el comportamiento
de la función en el punto c; puede incluso no estar en el dominio. Lo que
sí debe ocurrir es que todos los puntos próximos a c estén en el dominio y
sus imágenes estén cada vez más cerca de L.
Análogamente, se dice que unafunción f tiene límite infinito en x = c, y se
escribe como l´ımx→c
f(x) = ∞, cuando
∀M > 0, ∃δ > 0 tal que f(x) > M si 0 < |x − c| < δ.
Si únicamente interesa aproximarse a c por la derecha de ´el (es decir, para
valores mayores que c), se hablará de límite lateral por la derecha, y análogamente de límite lateral por la izquierda (para valores x < c). Las notaciones
que se usarán son las de límx→c+
f(x) y l´ım
x→c−
f(x), respectivamente.
Un caso particular de l´ımites laterales son los l´ımites al infinito, es decir los
casos en que x = ±∞. As´ı decimos que l´ımx→∞
f(x) = L, cuando
∀ε > 0, ∃k > 0 tal que |f(x) − L| < ε si x > k.
Los l´ımites conservan las operaciones b´asicas de funciones siempre que dichas
operaciones sean posibles en el punto donde se est´a calculando el l´ımite.PROBLEMA 3.1.
Calcular l´ım
x→2
3(2x − 1)(x + 1)2
.
Soluci´on
Basta sustituir el punto x = 2 en la funci´on. Resulta que
l´ım
x→2
3(2x − 1)(x + 1)2 = 3(4 − 1)(3)2 = 81.
86

http://www.ehu.es/~mtpalezp/libros/ana1_3.pdf



francisco Javier golsalez
matematicas de bachillerato 2º
proyecto matex
11 de junio del 2004





CAPÍTULO I
CONTINUIDAD
Definición : f(x)continua en a
1ª definición ⇔ límf(x) = f(a)
x→a
2ª definición ⇔ ∀ε>0: ∃δ>0 / |x-a|< δ ⇒|f(x)-f(a)| < ε
3ª definición ⇔ lím [f(a+∆x) – f(a)] = 0 , o sea que si el incremento de la variable
∆x→0 tomado a partir de a tiende a 0, también
tiende a 0 el incremento correspondiente
de la función.
Es fácil comprobar la equivalencia entre las 3 definiciones. Observemos
que la forma más usualde la definición de continuidad es la primera; el lector debe
tener especialmente en cuenta que esa definición contiene implícitamente tres
afirmaciones, de las cuales las dos primeras deben verificarse cuidadosamente antes de
comprobar la igualdad:
1) Existe f(a)
2) Existe límf(x) y es finito
x→a
3) Los dos valores son iguales.
Por supuesto, si se toman límites sólo laterales, puededefinirse la continuidad lateral;
por ejemplo, por la derecha:
f(x) continua en a+
⇔ lím f(x) = f(a)
x→ a
+
⇔ ∀ε>0: ∃δ>0 ⁄ (x≥a y x-a < δ ) ⇒|f(x) – f(a)| < ε
⇔ lím [f(a+∆x) – f(a)] = 0
∆x→0+
DEL PUNTO DE VISTA GRÁFICO, la representación de una función continua en a
puede dibujarse alrededor de a sin levantar el lápiz.
Tipos de discontinuidad
1) Discontinuidad evitable :
Ocurre en acuando no existe f(a) pero existe y es finito lím f(x) = λ ( o sea que
x→a
existen los dos límites laterales y son finitos e iguales). La discontinuidad se llama
“evitable” porque si se completa la definición de la función dando a f(a) el valor λ
del límite en a, la función resulta continua. Veremos que en los otros casos de
discontinuidad, resulta imposible “evitar” la discontinuidad.LIMITE DE UNA FUNCION
Un número real L se dice límite de una función y = f(x) en un punto x = c si los valores de la función se van acercando a L cuando x toma valores cada vez más próximos a c.
Debemos tener en cuenta que no importa en este caso el comportamiento de la función en el punto c; puede incluso no estar en el dominio. Lo que sí debe ocurrir es que todos los puntos próximos a...