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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL
FACULTAD REGIONAL CÓRDOBA
ANÁLISIS MATEMÁTICO II
2007
Teóricos
Prof. Ing. M.A.Ramadán
Tema
Serie de potencias:
de Taylor; de MacLaurinmramadan@cbasicas.frc.utn.edu.ar
Apuntes de clases:

El Dr. Brook Taylor estudió la manera de desarrollar una función mediante una serie de potencias. La expresión resultante se la llamó: serie de potencias deTaylor, fórmula de Taylor, aproximación de Taylor, etc.
La estructura de la función no tiene que ser polinómica y debe ser derivable indefinidamente en un punto del entorno x=a perteneciente a sudominio.
Para encontrar el desarrollo de la serie, Taylor propone que la función puede equipararse a la suma de un polinomio de grado n en serie de potencias de x-a, más un valor complementario,residuo, o resto:


P(x) es el “polinomio aproximante” de la función y constituye la parte principal de la misma, siendo Tn+1(x) el “término complementario”, o el “resto” que le falta a P(x) paratomar el pleno valor de la función en el punto x. El valor del polinomio en x=a debe ser estrictamente el mismo valor que el de la función en dicho punto.
El polinomio aproximante se expresa enfunción de las potencias de x-a, donde x es un punto perteneciente al dominio de la función y al delta entorno del punto x=a; siendo: x-a=dx=Δx

Para determinar las estructuras de los Ancoeficientes del polinomio, se determinan las n derivadas sucesivas del mismo y se las valora en el punto a:




. . . . .
. . . . .
. . . . .


que, valoradas en el puntox=a, serán:
; ; ; ; ..... ; …….;
de donde se puede explicitar cada coeficiente:
; ; ; ;
Con estos coeficientes, el polinomio aproximante es:

con lo que la funciónpuede escribirse:

Como dijimos, en x=a los valores del polinomio aproximante y de la función deben coincidir estrictamente, por lo cual:

Estructura funcional que expresa claramente que la...