Limites

Límites por definición:
Sabiendo que es épsilon y delta:
⟺ ∀ > 0 ∃() > 0 / ∀x ∈ DomF, 0 < |x – x0| < ⟹ |F(x) – L | < . Esto quiere decir:

Significa que para todo épsilonpositivo, existe algún delta positivo tal que, para todo x que pertenece al dominio de F y que cumple que |x – x0| está comprendido entre 0 y delta, |F(x) – L | es menor que épsilon.

Ejemplo 1:Demostrar que . Cuanto vale δ?
Solución
|(4x − 5) − 7| < ε siempre y cuando 0 < |x − 3| < δ.
La primera desigualdad nos da:
−ε < 4x − 5 − 7 < ε
−ε < 4x − 12 < ε
−ε/4 < x − 3< ε/4
Al sustituir en la segunda, escrita en la forma:
−δ < x − 3 < δ
Nos da:
−δ = −ε/4 < x − 3 < ε/4 = δ.
O sea que si nos dan cualquier ε, siempre habría un δ igual a ε/4 quesatisfaga ambas desigualdades, lo cual prueba que en efecto 7 es el límite buscado.

Ejemplo 2:
Demostrar que y señalar cuanto vale delta.
Solución:
Dado ε > 0 existe δ > 0. Tal que |(3x + 2)− 5| < ε . Siempre y cuando 0 < |x − 1| < δ.
Tenemos:
|(3x + 2) − 5| < ε
|(3x - 3| < ε
|3 (x - 1)| < ε
3| (x - 1)| < ε
| (x - 1)| <
Tomando δ= Se tiene que:límites que resultan :

Un límite del tipo diremos que tiene la forma indeterminada si tanto F como G tienden a 0 cuando x tiende a x0. Para calcular dicho límite hay que realizar manipulacionesalgebraicas apropiadas, según sea el caso, que nos leve a una simplificación, entre un factor del numerador y un factor del denominador que se anulan en x0
Ejemplo 1:
Calcular:
Solución:
= Formaindeterminada
Realizamos una factorización de la función y se tiene:

Por lo tanto:

Ejemplo 2:
Calcular:
Solución:
= Forma indeterminada
Factorizamos y nos queda:

Entonces:

Limitesinfinitos:
Existen ciertas funciones que aumentan o disminuyen sin límite a medida que la variable independiente se acerca a un valor fijo determinado.

Crecimiento Infinito:
Sea F una función...