LIMITES

CAP´ITULO III.
L´IMITES DE
FUNCIONES

SECCIONES
A. Definici´on de l´ımite y propiedades b´asicas.
B. Infinit´esimos. Infinit´esimos equivalentes.
C. L´ımites infinitos. As´ıntotas.
D. Ejercicios propuestos.

85

´ DE L´
´
A. DEFINICION
IMITE Y PROPIEDADES BASICAS.

Un n´
umero real L se dice l´ımite de una funci´on y = f (x) en un punto x = c
si los valores de la funci´on se van acercando a Lcuando x toma valores cada
vez m´as pr´oximos a c. Simb´olicamente se expresa por:
l´ım f (x) = L ⇐⇒ ∀ε > 0, ∃δ > 0 tal que |f (x) − L| < ε si 0 < |x − c| < δ.

x→c

Debemos tener en cuenta que no importa en este caso el comportamiento
de la funci´on en el punto c; puede incluso no estar en el dominio. Lo que
s´ı debe ocurrir es que todos los puntos pr´oximos a c est´en en el dominio y
sus im´agenesest´en cada vez m´as cerca de L.
An´alogamente, se dice que una funci´on f tiene l´ımite infinito en x = c, y se
escribe como l´ım f (x) = ∞, cuando
x→c

∀M > 0, ∃δ > 0 tal que f (x) > M si 0 < |x − c| < δ.
Si u
´nicamente interesa aproximarse a c por la derecha de ´el (es decir, para
valores mayores que c), se hablar´a de l´ımite lateral por la derecha, y an´alogamente de l´ımite lateral por laizquierda (para valores x < c). Las notaciones
que se usar´an son las de l´ım f (x) y l´ım f (x), respectivamente.
x→c−

x→c+

Un caso particular de l´ımites laterales son los l´ımites al infinito, es decir los
casos en que x = ±∞. As´ı decimos que l´ım f (x) = L, cuando
x→∞

∀ε > 0, ∃k > 0 tal que |f (x) − L| < ε si x > k.
Los l´ımites conservan las operaciones b´asicas de funciones siempre quedichas
operaciones sean posibles en el punto donde se est´a calculando el l´ımite.

PROBLEMA 3.1.

Calcular l´ım 3(2x − 1)(x + 1)2 .
x→2

Soluci´
on

Basta sustituir el punto x = 2 en la funci´on. Resulta que
l´ım 3(2x − 1)(x + 1)2 = 3(4 − 1)(3)2 = 81.

x→2

86

PROBLEMA 3.2.
3(2x − 1)
.
x→−1 (x + 1)2

Calcular l´ım
Soluci´
on

Al intentar sustituir en la funci´on el punto x = −1, se anula eldenominador.
Esto quiere decir que cuanto m´as nos aproximamos a −1, m´as grande es el
cociente. Por eso el l´ımite es infinito (∞).

PROBLEMA 3.3.
x2 + x − 2
.
x→−2
x2 − 4

Calcular l´ım

Soluci´
on

La situaci´on es parecida al problema anterior. Sin embargo el numerador
tambi´en se anula en x = −2.
No podemos asegurar que el cociente se hace m´as grande cuando x se acerca a
−2. Pero si factorizamosnumerador y denominador, podemos escribir
x2 + x − 2
(x + 2)(x − 1)
x−1
−3
= l´ım
= l´ım
=
= 3/4.
2
x→−2
x→−2 (x + 2)(x − 2)
x→−2 x − 2
x −4
−4
l´ım

PROBLEMA 3.4.
√

Calcular l´ım

x→2

√
x + 2 − 2x
.
x−2

87

Soluci´
on
Tambi´en la situaci´on es similar pero antes de factorizar debemos eliminar
las ra´ıces del numerador, es decir, debemos racionalizar. Nos queda:
√
√
√
√
( x + 2 − 2x)( x + 2 +2x)
(x + 2) − 2x
√
√
L = l´ım
= l´ım
√
√
x→2
x→2 (x − 2)( x + 2 + 2x)
(x − 2)( x + 2 + 2x)
−x + 2
−1
√
= l´ım
=
= −1/4.
√
x→2 (x − 2)( x + 2 + 2x)
2+2

PROBLEMA 3.5.

Resolver l´ım ([x] − x).
x→4

Soluci´
on

Como la funci´on parte entera es escalonada, puede tomar diferentes valores
a la derecha y a la izquierda del punto x = 4. Debemos calcular los l´ımites
laterales separadamente.
l´ım ([x] −x) =

x→4−

l´ım ([x] − x) =

x→4+

l´ım (3 − x) = 3 − 4 = −1.

x→4−

l´ım (4 − x) = 4 − 4 = 0.

x→4+

Al ser distintos los l´ımites laterales en x = 4, no existe el l´ımite de la funci´on
en el punto.

PROBLEMA 3.6.
x2 − 2x
.
x→2 x2 − 4x + 4

Calcular l´ım

Soluci´
on

Como el numerador y denominador tienden a cero, debemos factorizar ambos
y simplificar. Tenemos:
(x − 2)x
x
= l´ım
= ∞.
x→2 (x −2)(x − 2)
x→2 x − 2

L = l´ım

88

PROBLEMA 3.7.
(x + h)3 − x3
.
h→0
h

Calcular l´ım
Soluci´
on

Tambi´en en este caso se anulan el numerador y el denominador. Desarrollamos primero la potencia y luego simplificamos:
(x3 + 3x2 h + 3xh2 + h3 ) − x3
h(3x2 + 3xh + h2 )
= l´ım
h→0
h→0
h
h
2
2
2
= l´ım (3x + 3xh + h ) = 3x .

L =

l´ım

h→0

PROBLEMA 3.8.
x − (n + 1)xn+1 + nxn+2
.
x→1
(1 − x)2...