Logaritmicos

Materias Básicas

Guía de Geometría y Trigonometría

Primer Departamental

EJERCICIOS RESUELTOS
ECUACIONES LOGARÌTMICAS

Son ecuaciones logarítmicas aquellas en las que aparece la incógnita o incógnitas dentro de un logaritmo. Por ejemplo:

1.-log(x+6) = log(2x-1).
Parece lógico que para que esta ecuación sea cierta, debe ser: x + 6 = 2x - 1 o sea x = 7. Hemos resuelto la primeraecuación logarítmica. Muy sencilla en este caso, pero que nos proporciona el método para resolverlas todas. Enseguida lo veremos. También aplicando las leyes de los logaritmos donde log log(x+6) = log(2x-1). log (x+6)-log (2x-1) = 0 Como tenemos una diferencia de logaritmos, procedemos como lo indica la ley de los logaritmos mencionada,
log ( x  6) ( 2 x  1) 0

a b

log a  log b

Observamosque la base del logaritmo es 10, ya que no aparece ningún subíndice, por lo tanto se da por hecho que es de base 10. Convirtiendo

bx
Tenemos: 10 0

N

log

b

N

x x  6; 2 x  x 6  1; x 7

x6 ?1 2x  1

x6 simplifica ndo 2 x  1 2x  1

2.- log(x+6) = 1 + log(x-3)
log( x  6)  log( x  3) 1 ( x  6) log 1 ( x  3) x6 x6 ; 10( x  3) 101 ? 10 x 3 x 3 36 x ? x 4 9

x 6; 10 x  30

x  6; 10 x  x

6  30; 9 x

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Profesor Rodrigo Camacho Chávez

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3.- log 2 + log (11 - x2) = 2 log(5-x)
log 2 2 log(5  x)  log(11  x 2 ) ? 0.301029995 (5  x) 2 ? 2 (11  x 2 ) log (5  x) 2 ? (11  x 2 ) (5  x) 2

10 0.301029995 22  2 x 2 3

(5  x) 2 ? 2(11  x 2 ) (11 x 2 ) 2 x 2  x 2  10 x 0

25  10 x  x 2 ? 22  25

3 x 2  10 x ? 3 x 2  10 x  3

Tenemos una ecuación de segundo grado la cual resolvemos con: x Con a
3 b 10 c 3 sustituyendo:

 b r b 2  4ac 2a

x

 (10) r (10) 2  4(3)(3) 2(3)
10 r 100  36 ? 6 18 3 6 2 0.3333 6 x

Simplificando

x x1 x2

10 r 8 6

Comprobación con x = 3 log 2 + log (11 - x2) = 2 log(5-x)sustituyendo x1
0.301029995  log(11  3 2 ) 0.301029995  log(2) 0.301029995  0.301029995 0.6020 0.6020 2 log(5  3) 2(0.301029995)

3

2 log(2)

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4.- log (3 - x2) =log 2 + log x
log(3  x 2 )  log x log 2 log (3  x 2 ) x 0.3010 ? 10 0.3010 3  x2 ? x 2x 3  x2

x 2  2x 3 0 x 2  2x 3 2 2 x 2  2x  ( )2 3  ( )2 ? ( x  1) 2 4 2 2 x  1 r 4 tomando la parte positiva tenemos : x1 1  2 1 tomando la parte negativa x2 1  2 3

Comprobación con x = 1 log (3 - x2) =log 2 + log x
log(3  1) log 2  0 log 2 log 2

5.- 2log(x) - log ( x2 - 6) = 1
log x 2  log( x 2  6) 1 ? log 10 x 2  60 x2 x x2 x2 x2 ? 10( x 2  6) 1 ? 101 2 2 x 6 x 6 2 2 2 ? 10 x  x 60 0 ? 9 x  60 0 ? 9 x 2 60 r 60 9 x2

60 ? x 9 r2.582

Comprobación con x = 2.582 2log(x) - log ( x2 - 6) = 1
2 log 2.582  log(2.582 2  6) 1 0.824  (0.176) 1 0.824  0.176 1 1{1

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6.- 3 x  4 = 21  3x
Observemos que tenemos una ecuación exponencial de la forma bx Donde b=3; x

N

x  4 ; N= 21  3x
log 21  3 x

Aplicando logaritmos de ambos lados tenemos: log 3 x  4 Como log A n
n log A ley de los logaritmos, entonces:

( x  4) log 3 (1  3 x) log 2 ? x log 3  4 log 3 x log 3  3x log 2 log 2  4 log 3 x(log 3  3 log 2) x  1.6075 log 3  3 log 2 0.3010  1.9084  1.6075 0.4471  0.9030  1.6075 1.3802

log 2  3x log 2

1.1646Comprobación: con x = -1.1646

3 x  4 = 21  3x Sustituyendo
3 (1.1646  4 ) 2 (1  3(1.1646))

3 2.8353

2 4.4938

22.53 | 22.53

7.-

Sistemas de ecuaciones

2x  3y 2 32    ( 1) x  2 y 6       ( 2) Observemos que la ecuación (1) es de tipo exponencial b x Y que se puede convertir en logarítmica así: log 2 Aplicando log A n

N
log 32

2x  3y

n log A en el...