Logaritmo complejo

3. LAS FUNCIONES HIPERBÓLICAS

3.1 Funciones seno y coseno hiperbólicos

a) Definición
Se definen formalmente como en el caso real. Para [pic]C
[pic] [pic] (3.9)

b) Propiedades

i) Para z = x, el valor de estas funciones coincide con el valor de las funciones coseno y seno hiperbólico reales.
ii) Las funciones Sh z y Ch z son enteras y
[pic][pic]
Son enteras por ser combinaciones lineales de funciones enteras [pic] y [pic].
Además [pic]
Análogo para Ch z
iii) Las funciones Sh z y Ch z son periódicas con periodo 2(i
Pues [pic] y [pic]son periódicas con ese periodo.
iv) [pic] [pic] (3,10)
[pic] [pic]
Basta utilizar las definiciones de las funciones trigonométricas ehiperbólicas.
Por tanto:
“De toda fórmula trigonométrica válida en el campo complejo, se deduce otra hiperbólica válida también en el campo complejo, reemplazando z por iz y expresando las funciones trigonométricas de iz por medio de funciones hiperbólicas de z “

v) [pic] [pic]
vi) [pic] (3,11)
De la definición, o partiendo de [pic]
Cambiandoz por iz: [pic]
Y según (3,10): [pic]

vii) [pic]
[pic] (3.12)
viii) [pic]
[pic]
Pues [pic]
ix) [pic] [pic]
x) [pic] [pic]
xi) [pic] [pic]Z [pic] [pic]Z
Pues [pic] [pic]Z
Análogo para el Ch z.

3.2 Restantes funciones hiperbólicas

a) Definición

Se definen:
[pic] ; [pic][pic]C[pic][pic] , [pic]Z[pic]
[pic] ; [pic] [pic]C[pic][pic] , [pic]Z[pic]

b) Propiedades

i) Las funciones anteriores son analíticas en sus respectivos campos de existencia y en ellos es:
[pic] [pic]
[pic] [pic]

ii) Otras propiedades de estas funciones se obtienen a partir de las propiedades vistas para Sh z y Ch z.

4. LA FUNCIÓN LOGARITMO

a) IntroducciónEn el análisis real e definía el logaritmo en base a [pic] como la función inversa de la exponencial de base a, es decir:
[pic] [pic]
Para el caso a = e la función recibía el nombre de logaritmo neperiano y se denotaba y = ln x
Y cuando a = 10 , se suprimía la a en la notación y se escribía y = log x.
En el análisis complejo, se defineanálogamente la función logaritmo como función inversa de la función exponencial compleja.

b) Definiciones

( “Sea [pic]C y [pic]. Si w es un némero complejo tal que exp(w) = z, entonces se dice que w es un logaritmo de z . Y se escribe w = log z.” Es decir [pic]

Se verá que la ecuación [pic] tiene infinitas soluciones en el campo complejo. Cada una de ellas se llama una determinación dellogaritmo. Es decir que w = log z es una función multiforme.

Sea w = u + iv. Y sea [pic] y [pic] ( [pic]Z ) siendo [pic] el argumento principal de z ([pic])
Entonces [pic]
Por tanto [pic], es decir [pic], y [pic] ( [pic]Z )

Luego: [pic] con [pic], [pic], [pic]Z, [pic] en radianes (3.13)

Se ha visto que, en efecto, existen infinitos logaritmos de un nº complejo. Era de esperar, dadala periodicidad de la función exponencial.

( “Se llama logaritmo principal de z o valor principal del logaritmo, y se denota [pic] a:
[pic] con [pic], [pic], [pic]” (3.14)

La función logaritmo principal, es ya uniforme.
Está definida en todo el plano complejo, excluyendo al origen. Y su recorrido es la franja horizontal de anchura [pic]: [pic]

( Se observa que si[pic] y [pic], entonces el valor principal de su logaritmo complejo, coincide con su logaritmo real neperiano, es decir: [pic]

( A partir de la función multiforme [pic], además de la función univaluada logaritmo principal, obtenida dando a k el valor cero, podrían obtenerse otras funciones univaluadas, tomando otro valor de [pic]Z.
Cada una de estas funciones recibe el nombre de rama de...