Logaritmo propiedades

˜o - 2007 - Logaritmo
Instituto Juan XXIII - 5◦ an

1.
1.1.

1

Logaritmo
Definici´
on y condiciones de existencia

Definici´
on 1.1 (Definici´
on y condiciones de existencia)
logb a = c ⇐⇒ bc = adonde a y b verifican a > 0

1.2.

Propiedades

Teorema 1.2 (Logaritmo del producto) Demostraremos que
logc ab = logc a + logc b
Demostraci´
on. De la definici´on tenemos que
logc a = x ⇐⇒ cx = a
logc b= y ⇐⇒ cy = b

Multiplicando miembro a miembro y usando que cx cy = cx+y se tiene
cx+y = ab
Por definici´on de logaritmo
logc ab = x + y
Entonces, sustituyendo x e y queda probado
logc ab = logc a +logc b

Teorema 1.3 (Logaritmo del cociente) Demostraremos que
a
= logc a − logc b
b

logc

Demostraci´
on. De la definici´on tenemos que
logc a = x ⇐⇒ cx = a
logc b = y ⇐⇒ cy = b
Dividiendo miembro amiembro y usando que

Por definici´
on de logaritmo
logc

cx
= cx−y se tiene
cy
a
cx−y =
b
a
=x−y
b

Entonces sustituyendo x e y queda probado
logc

a
= logc a − logc b
b

b>0

b=1

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Teorema 1.4 (Logaritmo de una potencia) Demostraremos
logb an = n logb a
Demostraci´
on. De la definici´on tenemos que
logb a = c ⇐⇒ bc = a
Elevando a la n a amboslados de la igualdad anterior
n

(bc ) = an
n

Como (bc ) = bcn tenemos que
bcn = an
y por definici´on de logaritmo
logb an = cn
Entonces queda demostrado
logb an = n logb a

Corolario 1.5 Comoconsecuencia del teorema anterior demostraremos que
logb
Demostraci´
on.
logb

1.3.

√
logb a
n
a=
n

√
1
1
logb a
n
a = logb a n = logb a =
n
n

Cambio de base

Teorema 1.6 (Cambio de base) Demostraremosque
logb a =

logc a
logc b

Demostraci´
on. Por definici´on
logb a = x ⇐⇒ bx = a

Tomando logaritmo en base c a ambos lados de la igualdad se tiene
logc bx = logc a
y usando el teorema anterior
x logcb = logc a
Por lo tanto
logb a logc b = logc a
Como logc b = 0 pues b = 1 entonces
logb a =

logc a
logc b

2

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1.4.

Consecuencias del teorema...