LOGARITMOS

 ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA



FUNCIÓN EXPONENCIAL Y FUNCIÓN LOGARITMO

La función exponencial es una función de la forma  f (x) = ax, donde la base a es un número real positivo fijo y el exponente x es la variable independiente o pre imagen de la función.
El dominio de esta función es el conjunto ℝ (números reales) ysu recorrido es el conjunto ℝ+ (números reales positivos).
Para hacernos una idea de su gráfico, podemos dar algunos valores para a (por ejemplo a = y a = 2) y luego determinar un número suficiente de valores de f (x) (por ejemplo f (-3); f (-1); f (0); f (1); f (2); f (3), etc.).
De esta manera y generalizando para todo a válido, llegamos a lo siguiente:

Notemos en el gráfico que en eleje de las abscisas (eje x) se ubican los exponentes de las potencias y en el eje de las ordenadas (eje Y) se ubican los valores de las potencias de base a.
Bajo las condiciones enunciadas en el primer párrafo, la función exponencial es una función biyectiva lo que nos permite determinar la función inversa, es decir, dado el valor de una potencia de base conocida, determinar el valor delexponente que la satisface. Este exponente se denomina logaritmo (log) y se define como
y = loga x Û x = ay
o sea, el logaritmo de un número x corresponde al exponente al que hay que elevar una base a (conocida) y cuyo resultado sea igual a x. El valor x se denomina argumento y a es la base.
Entonces, la función logaritmo, como función inversa de la función exponencial, se define como  f (x) = log a x,con a > 0 y a ≠ 1. Gráficamente, podemos relacionar los elementos de la función exponencial determinados en la figura anterior, pero “al revés”, o sea en el eje x vamos a situar los valores de las potencias de base a y en el eje y los exponentes que las satisfacen.



El dominio de la función logaritmo es el conjunto ℝ+ (reales positivos) y su recorrido es ℝ (los números reales).


Ejemplos 1:Dados f (x) = ax y a = 3, determinar f (– 4), f (– 1), f (0) y f (2).
 Solución:
f (– 4) = 3– 4 = =
 f (–1) = 3– 1 =
f (0) = 30 = 1
f (2) = 32 = 9



Ejemplo 2:
Dados f (x) = ax y a = , determinar f (–3), f (–2), f (0) y f (1).
 Solución:
f (–3) = = 43 = 64
f (–2) = = 42 = 16



f (0) = = 1
f (1) = = = 0,25


Ejemplo 3:
Sea f (x) = ax, con a > 1. ¿Es correctoafirmar que, si x1 < x2, entonces f (x1) < f (x2)?
 Solución. La respuesta a la pregunta es SÍ, y para corroborarlo, asociamos las condiciones de la pregunta al gráfico de la función exponencial con a > 1.



Ejemplo 4:
Dados f (x) = log a x y  a = 3, determinar  f ; f ; f (1), f (3) y f (27).
 Solución: f = log 3 , es decir, si designamos por y a  entonces 3 elevado a  y  debe dar y como   = 3–2 , entonces  y = –2. O sea, log 3 = – 2.
f = log 3 = – 1, pues 3– 1 =
 f (1) = log 3 1 = 0, pues 30 = 1

f (3) = log 3 3 = 1

f (27) = log 3 27 = 3

5. Si  f (x) = log 0,5 x, determinar  f (16);  f ; f (–2); f (0) y f (1).



Solución
 Como 0,5 = , entonces  f (16) = log16 = – 4, pues  = 24 = 16
f = log= 4
f (–2) y f (0) no existen ya que -2 y 0 no pertenecen al dominio de lafunción logaritmo. La variable x sólo toma valores reales positivos.

f (1) = log1 = 0
Ejemplo 6.
Si  0 < a < 1, entonces ¿cuál es el orden de mayor a menor entre los números  loga 5; loga 1  y  loga 0,5?
 Solución. Para determinar el orden entre los tres números dados, podemos utilizar el gráfico de la función logaritmo cuando  0 < a < 1.

De la interpretación gráfica, se concluye que  loga 0,5 >loga 1 > loga 5


LOGARITMOS

Si nos preguntamos: ¿A cuánto hay que elevar el número 2 para obtener 3?, la respuesta es un número irracional entre 1 y 2. Este número, por definición, se denomina el “logaritmo en base 2 de 3”, lo que se anota log23.
En la expresión loga b, a se denomina base del logaritmo y b se llama argumento, con a > 0, b > 0 y a 1.


Por lo tanto la definición de...