Lugar de las raices

1.

G(S ) H (S )=
•

K ( S +6)
S (S +1)(S +3)

Puntos de origen (Polos).
S =0

S +1=0
S =−1

S +3=0
S =−3

P=3
•

Puntos terminales (Ceros).
s+6=0
s=−6
Z=1

•

Número de ramas separadas
N =3

•

P>Z

ó

3>1

Intersección de las asíntotas con el eje real.
σ=−

σ=

•

pues

Σ Polos de G(S ) H (S ) − Σ Ceros de G (S )H ( S )
P−Z

P−Z =20+(−1)+(−3)−(−6) 2
= =1
2
2

Ángulos asintóticos
θk =

180 ° (2k +1)
P−Z

donde

k =0,1,2,… P−Z

180 °( 2(0)+1)
=90 °
2
180 ° (2(1)+ 1)
θ1=
=270 ° →−90 °
2
θ0 =

•

con

Lugar de las raíces sobre el eje real.
➢ Rango entre 0 y -1
Sí pertenece al lugar de las raíces.
➢ Rango entre -1 y -3
No pertenece al lugar de las raíces.

con

P−Z =2

➢ Rango entre -3 y -6
Sí perteneceal lugar de las raíces.
➢ Rango entre -6 y −∞
No pertenece al lugar de las raíces.
•

Puntos de separación y/o puntos de llegada del lugar de las raíces.
Se obtiene con;

dK
=0
ds

condición de amplitud:

∣

despejando K:

K=

d(

∣

K (S +6)
=1
S (S +1)(S +3)
S (S +1)( S +3) S 3 +4S 2+ 3S
=
S +6
S+6

S 3 +4S2+ 3S
)
S +6
=0
ds

d (S 3 +4S2+ 3S)
d (s+6)
(s+6)−( S 3+4S2 +3S)
ds
ds
=0
2
( s+ 6)

[

2

3

2

]

( 3S +8S+ 3)(s +6)−(S +4S +3S)(1)
=0 (s +6)2
2
( s+6)

3S3+ 18S2 +8S2+ 48S+3S+18−S 3−4S 2−3S=0
2S3 +22S 2+ 48S+18=0
S 1=−8.21

S 2=−0.48

Sí pertenece al lugar de las raíces ,es punto de separación

S 1=−2.31
•

No pertenece al lugar de las raíces

No pertenece al lugar de las raíces

Intersección del lugarde las raíces con el eje imaginario.
Se utiliza el criterio de Routh-Hurwitz
Se tiene: G(S ) H (S )=

K (S + 6)
S (S +1)( S +3)

se debe obtener:

C (S )
G (S )
=
R(S ) 1+G( S ) H (S )

donde en este caso;

H (S )=1

K (S +6)
K (S + 6)
C (S )
S ( S +1)( S +3)
S (S +1)(S +3)
K (S + 6)
=
=
=
R(S )
K ( S +6)
S (S + 1)(S + 3)+K ( S +6) S (S +1)(S +3)+K (S +6)
1+
S (S+1)(S +3)
S (S +1)(S +3)
La ecuación característica es:
S (S +1)(S +3)+ K (S +6)=0
3

2

S +4S +3S+ KS +6K=0
Esquema de Routh:
3

2

1

0

S +4S +(3+ K ) S +6KS =0

S3

1

3+K

S

2

4

6K

S

1

b1

0

S0

c1

b 1=

4(3+ k )−6k (1) 12−2k
=
4
4

La ecuación auxiliar es:

para hacer b 1=0 → k =6
2

4S +6k =0
2

4S +36=0
S 1,2=±3j

•estos son los puntos de intersección con el eje imaginario

ESTABILIDAD:
El sistema es ESTABLE para todo valor de 0 < K < 6.
Para valores de K > 6 el sistema se vuelve INESTABLE.

•

Gráfica del lugar de las raíces con MATLAB
>> s=tf('s')
Transfer function:
s
>> g1=(s+6)/(s*(s+1)*(s+3))
Transfer function:
s+6
----------------s^3 + 4 s^2 + 3 s
>> rlocus(g1)

Al observar la gráficaobtenida con MATLAB, se pueden comprobar los valores calculados.

G(S ) H (S )=

2.
•

K
S (S +2)( S 2+ 2S+4)

Puntos de origen (Polos).
S =0

2

S +2=0
S =−2

S + 2S+ 4=0
S 1=−1+1.73j
S 2=−1−1.73j

P=4

•

Puntos terminales (Ceros).
Z=0

•

Número de ramas separadas.
N =4

•

P>Z

ó

σ=

Σ Polos de G(S ) H (S ) − Σ Ceros de G (S )H ( S )
P−Z

conP−Z =4

0+(−2)+(−1+1.73j)+(−1−1.73j)−0 −4
=
=−1
4
4

Ángulos asintóticos
θk =

180 ° (2k +1)
P−Z

θ0 =

180 ° ( 2(0)+1)
=45 °
4

θ1=

180 ° ( 2(1)+ 1)
=135 °
4

θ2 =

180 ° ( 2( 2)+1)
=225 °
4

θ3=
•

4> 0

Intersección de las asíntotas con el eje real.
σ=−

•

pues

180 ° ( 2(3)+1)
=315 °
4

donde

k =0,1,2,… P−Z

Lugar de las raíces sobre el ejereal.
➢

Rango entre 0 y -2
Sí pertenece al lugar de las raíces.

con

P−Z =4

Rango entre -2 y −∞
No pertenece al lugar de las raíces.

➢

•

Puntos de separación y/o puntos de llegada del lugar de las raíces.
Se obtiene con;

dK
=0
ds

condición de amplitud:

∣

despejando K:

K =S (S + 2)( S +2S+ 4)=S + 4S + 8S + 8S

∣

K
=1
2
S ( S +2)( S + 2S+4)
2...