Lugar Geometrico

INTRODUCCION

Por medio de este trabajo se quiere dar a conocer de una mejor forma el desarrollo de el lugar geométrico de raíces de un sistema, el cual abarca por completo la respuesta de una función de transferencia ante una excitación, con lo cual se podrá obtener mejores conocimientos sobre el tratamiento de un sistema determinado que permita tomar las decisiones correctas ante lasdiferentes necesidades que se presenten.
En este documento se podrá observar mediante diferentes pasos como abordar un determinado sistema, identificando partes fundamentales de su análisis como lo son los polos y ceros que lo conforman, los cuales indicaran cuales valores puede tomar el sistema y la respuesta que se puede presentar al elegir alguno de ellos, se podrá identificar de una forma massimple cuando se puede presentar una respuesta sub-amortiguada, sobre-amortiguada, critica, oscilatoria y definir cuando un sistema será inestable. En el tratamiento del lugar geométrico de raíces se dará desarrollo a términos fundamentales como lo son el punto de salida del eje real, el centroide de asíntotas, el ángulo de salida y de llegada de un polo a un cero y el intercepto con el eje imaginario,todos estos términos nos permitirá dar claridad y comprensión del comportamiento presentado por el sistema.

OBJETIVOS

- Lograr identifica y definir y graficar el lugar geométrico de raíces, con el cual se pueda analizar de forma adecuada la respuesta que se puede generar antes una excitación.
-Afianzar el conocimiento que se tiene sobre las respuestas de un sistema, las cuales se podránidentificar desde el lugar geométrico de raíces al tomar una determinada ganancia que se podrá remplazar en la función de transferencia del sistema.
-Dar una base clara y firme del tratamiento de un sistema, la cual permita hacer más eficiente el comportamiento ante una excitación


Para los problemas propuestos en el libro de Richard C. Dorf y Robert C Bishop 10ª edición, se anexa elsolucionario.
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NOTA: En el numeral a, se debe graficar manualmente, siguiendo los pasos explicados en clase. Luego, compara con los obtenidos mediante Matlab.

Funcion de lazo abierto
GH=S2+2s+10S4+38S3+515S2+2950S+6000

Polos de lazo abierto
S4+38S3+515S2+2950S+6000=0
S=-15
S=-10
S=-8
S=-5

Ceros de lazo abierto
S2+2s+10=0
S=-1.0000 + 3.0000i
S=-1.0000 - 3.0000i

Asíntotas:θ=180+360np-z θ=180+360n4-2 Siendo n=0,1

θ=90° y 270°

Numero de ramas que van al infinito: P – Z= 4 – 2= 2
Centroide de asíntotas:

σ= ∑polos de lazo abierto-∑ceros de lazo abiertop-z

σ= -15+-10+-8+-5--1-3i+-1+3i4-2 →

σ= -362 → σ=-18

Para hallar el punto en el cual el LG emerge del eje real aplicamos:

K=-1GH=-S4+38S3+515S2+2950S+6000S2+2s+10

dkds=00=-2s+2S4+38S3+515S2+2950S+6000-(S2+2s+10)(4S3+114S2+1030s+2950)(S2+2s+10)2

0=-2s+2S4+38S3+515S2+2950S+6000-(S2+2s+10)(4S3+114S2+1030s+2950)

0=-(2S5+76S4+1030S3+5900S2+12000S+2S4+76S3+1030S2+5900S+12000-4S5-114S4-1030S3-2950S2-8S4-228S3-2060S2-5900S-40S3-1140S2-10300s-29500)

0=-(-2S5-44S4-192S3+780S2+1700S-17500)

0=2S5+44S4+192S3-780S2-1700S+17500)

Hallando los valores que hacencero esta función no encontramos con

S= -13.0036
S= -8.9347
S= -5.8896
S= 2.9140 + 2.0727i
S= 2.9140 - 2.0727i

Tomo los valores de S= -13.0036 y S= -5.8896 debido a que los otros no se encuentran donde el lugar geométrico debe de abrirse

K=-1GH=-(S+15)(S+10)(S+8)(S+5)(S+1+3i)(S+1-3i)

Para S= -13.0036, el punto en el cual el LG emerge del eje real es:K=--13.0036+15-13.0036+10-13.0036+8-13.0036+5-13.0036+1+3i-13.0036+1-3i=1.568631635

Para S= -5.8896, el punto en el cual el LG emerge del eje real es:


K=--5.8896+15-5.8896+10-5.8896+8-5.8896+5-5.8896+1+3i-5.8896+1-3i=2.136373159

Ángulos de partida
ángulos de polos al polo analizado + p - ángulos de ceros al polo = -180
p =-180+143.13+216.86=180
Ángulos de llegada...