Máximos y mínimos mediante el método de lagrange

Máximos y mínimos mediante el método de Lagrange:
Sea una función continua y derivable de varias variables f ( x, y ) (“varias” variables, o sea , dos en este ejemplo). Sabemos que para encontrar los extremos de la función (es decir, los puntos (x,y) donde f alcanza su máximo o mínimo valor), debemos resolver las ecuaciones: ∂f ( x , y ) ∂f ( x, y ) = 0; =0 ∂x ∂y Esto es lo mismo que especificarel punto donde el gradiente de la función en el plano XY se anula:
∇f ( x, y ) = 0. Como usted sabe (!), el gradiente en este caso es un vector en el plano XY que indica la dirección hacia donde hay que moverse para que la función aumente más bruscamente. El gradiente se anula en los puntos donde la función es “horizontal” (donde la función no aumenta hacia ningún lado).

En la figura semuestra una función con un máximo bien notorio. Las curvas de nivel indican los puntos donde la función tiene un valor dado. El gradiente de la función en un punto dado tiene dirección perpendicular a la curva de nivel que pasa por ese punto. En el máximo, la curva de nivel degenera en un solo punto. En tal caso, el gradiente es cero: a partir de ese punto no hay ninguna dirección hacia donde lafunción aumente. _______________ A veces no queremos buscar el máximo de la función en todo el dominio (plano XY, en este caso), sino sólo a lo largo de una curva en el plano XY (en el caso de una función de 3 variables, es decir en el volumen XYZ, la restricción puede ser una curva o una superficie en el espacio XYZ). Nuestro problema es entonces cómo encontrar los extremos de f si queremos limitarnossólo a puntos (x,y) que estén sobre una curva definida por: g ( x, y ) = 0 . La forma más directa (aunque no necesariamente la más simple de calcular) es usar la condición de restricción g ( x, y ) = 0 para despejar y como función de x, y = y ( x ) , y luego reemplazar este valor de y en la función f ( x, y ( x )) . De esta forma, tenemos una función de una variable menos (en este caso una funciónque sólo depende de x) sin restricciones. Para encontrar los extremos, simplemente buscamos los puntos x tales que df ( x, y ( x)) =0 dx Lo malo de este método es que en la práctica no siempre es posible despejar y = y ( x ) !!! Alternativamente, podemos definir la curva g ( x, y ) = 0 en forma paramétrica, es decir, mediante un par de funciones de un parámetro t: x = x (t ) e y = y (t ) tales queg ( x(t ), y (t )) = 0 . En este caso, buscamos el extremo de la función f (t ) = f ( x (t ), y (t )) usando, como siempre, la condición:

df =0 dt En la práctica, esto a veces tampoco resulta fácil de hacer!!! Veamos entonces la otra alternativa: el método de Lagrange. Gráficamente, la función f ( x, y ) se puede representar por un mapa de curvas de nivel en el plano XY, que en el ejemploanterior son curvas circulares. Como sabemos, el punto máximo está en el centro de las curvas de nivel. Sobre este gráfico podemos dibujar la curva de restricción g ( x, y ) = 0 , que es la línea que atraviesa la figura. Note que en esta figura, hemos dibujado la curva con un parámetro t, que avanza de izquierda a derecha. En el ejemplo, la función es mayor mientras más nos movemos hacia el centro delas curvas de nivel. t El máximo de f a lo largo de la curva ocurre en el punto tal que al avanzar sobre la curva no nos cambiamos de nivel, es decir donde la curva es tangente a la correspondiente curva de nivel. En otras palabras, el extremo de la función f sobre la curva g = 0 ocurre donde el gradiente de f es perpendicular a la curva g = 0. Hay otra forma de especificar esto más elegantemente:uno siempre puede definir el gradiente de la función g, esto es ∇g , puesto que g ( x, y ) es simplemente otra función más en en plano XY, donde la restricción g ( x, y ) = 0 simplemente corresponde a una de las curvas de nivel de g. Esto significa que ∇g , para puntos sobre la curva g = 0, es un vector perpendicular a esta curva. La condición del extremo es, por lo tanto, un punto donde el...