Método de coeficientes indeterminados

2. MÉTODO DE COEFICIENTES INDETERMINADOS.
Es un método para hallar una solución particular de la ecuación lineal completa [2], que consiste fundamentalmente en intuir la forma de una solución particular. No pueden darse reglas en el caso de ecuaciones lineales con coeficientes variables, pero sí en el caso de coeficientes constantes y el 2º miembro h(x) de la ecuación de algunos tiposespeciales. Antes de dar unas reglas, se consideran algunos ejemplos. Ejemplo 1: Hallar una solución particular de y" +2 y' +3 y = 6 x + 1 . Obsérvese que al aplicar d2 d + 3 a cualquier polinomio de primer grado, 2 +2 dx dx se obtiene otro polinomio de 1er grado. Por tanto es lógico considerar una solución de la forma yp = Ax+B. Sustituyendo en la ecuación diferencial: L=

L[yp] = 0 + 2A + 3(Ax + B) =3Ax + (2A + 3B) yp será solución si: 3Ax + (2A + 3B) = 6x + 1 ∀ x ∈ ℜ ⎧3 A = 6 ⎧A = 2 y p = 2x − 1 Por tanto: ⎨ Luego: ⇒⎨ ⎩2 A + 3 B = 1 ⎩ B = −1 Ejemplo 2: Hallar una solución particular de y" +2 y' = 4 x + 8 Si se actúa como en el caso anterior, se probaría una solución particular, de la forma yp = Ax+B. Resulta: L[yp] = 0 + 2A que no puede identificarse con 4x+8. Esto es debido a que, al noexistir término en y en el primer miembro de la ecuación, cuando se aplica el operador L a un polinomio Pm(x) de grado m se obtiene otro polinomio de grado m-1. Por tanto para obtener un polinomio de 1er grado, habrá de probarse un polinomio de 2º grado, con cualquier término independiente (p.ej.: 0). yp = Ax2+Bx = x(Ax+B) Por ello se probará una yp de la forma: Sustituyendo en la ecuación diferencial:L[yp] = 4x + 8 ⇒ 2A + 2 (2Ax + B) = 4x + 8 ⎧4 A = 4 ⎧A = 1 Por tanto: ⎨ Luego: ⇒⎨ ⎩2 A + 2 B = 8 ⎩ B = 3 Ejemplo 3: Hallar la solución general de: ∀x∈ℜ y p = x 2 + 3x

y" −3 y' −4 y = 6 e 2 x

Ecuación característica de la correspondiente homogénea: r2 -3r -4 = 0 : Raíces: r1 = 4 r2 = -1 Solución general de la homogénea: yH = c1 e4x + c2 e-x 1

Puesto que las derivadas de e2x son múltiplosde e2x, parece lógico probar como solución particular yp = A e2x. Sustituyendo en la ecuación diferencial: (4A – 6A -4A) e2x = 6e2x L[yp] = 6e2x ⇒ Por tanto: A = -1 e y p = − e 2 x Luego la solución general es: ∀x∈ℜ

y = c 1e 4 x + c 2 e − x − e 2 x y" −3 y' −4 y = 5 e − x

Ejemplo 4: Hallar una solución particular de

Actuando como en el caso anterior y probando yp = A·e-x, al sustituir enla ecuación diferencial, resulta: L[yp] = Ae-x + 3Ae-x – 4Ae-x = 0, lo que muestra que A e-x es solución de la correspondiente homogénea. Luego no puede serlo de la completa. y " = Ae − x ( x − 2) Si se prueba yp = A·xe-x , resulta: y 'p = A e − x (1 − x ), p Luego: L[yp] = Ae-x [(x - 2) – 3(1 – x) – 4x] = -5Ae-x y p = − x e -x

Por tanto yp será solución si A = -1. Es decir:

Nota: Engeneral: Sea una ecuación diferencial de coeficientes constantes L[y] = a eαx con polinomio característico P(r). - Si α no es raíz de P( r ) = 0 se probaría una solución particular de la forma: yp = Aeαx. a a e αx Luego y p = Entonces L[Aeαx] = A P(α)eαx = Aeαx ⇒ A = P( α ) P (α ) Si α es raíz simple de P(r) = 0, se prueba yp = Axeαx, pues:

d αx d ⎡ d αx ⎤ L e αx = A L A x e αx = A⋅ L⎢ e ⎥=A e P(α) =Ae αx [ x P(α ) + P'(α )] = dα dα dα ⎦ ⎣ a = AP'(α) e αx ⇒ A = P'(α ) Pero por ser α raíz simple de P(r) = 0, resulta: P(r) = (r - α) P1(r) con P1(α) ≠ 0. Como: P’(r) = P1(r) + (r - α) P1’(r) , se deduce que P’(α) = P1(α).
A= a P1 (α)

[

]

[ ]

Por tanto, en este caso:

De donde:

yp =

a x e αx P1 (α )

2

Pueden darse unas reglas para escoger el modelo de soluciónparticular a probar, en el caso de ecuaciones lineales con coeficientes constantes y con 2º miembro h(x) de
forma polinómica, exponencial, seno, coseno o producto de estos dos tipos. TABLA. Forma de una solución particular yp(x) de L[y] = h(x), cuando la ecuación tiene coeficientes constantes; siendo su polinomio característico P(r) y pp , qp , Pp , Qp , polinomios de grado p.

. a) h( x ) = p p ( x...