Coeficientes indeterminados

Coeficientes indeterminados
Coeficientes Indeterminados, Método de Superposición
Una forma para hallar una solución particular, de una ecuación diferencial lineal no homogénea se llama método de coeficientes indeterminados.
Corresponde a la forma:
Ay^''+By^'+Cy=f(x)
El método se limita a ecuaciones diferenciales lineales en las cuales se cumple:
A, B, C son coeficientes constantes
f(x)puede ser una de las siguientes funciones:
Polinomios
Exponenciales e^(∝x)
Senoidal   sin⁡βx   o   cos⁡βx
Combinación de las funciones anteriores

El conjunto de funciones que forman a g(x), tienen la propiedad de que las derivadas de sus sumas y productos son de nuevo sumas y productos de la misma forma, por lo que se dice que yp tiene la misma forma que g(x)
Este método no es aplicablecuando g(x) tiene la forma
ln⁡(x),1/x,tan⁡x,sin^(-1)⁡x,etc

Método de la superposición

Para resolver una ecuación diferencial lineal no homogénea
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Debemos pasar por dos etapas:
i) Determinar la función complementaria,.
ii) Establecer cualquier solución particular, , de la ecuación no homogénea.

Entonces, lasolución general en un intervalo es .
La función complementaria es la solución general de la ecuación homogénea asociada . El primero de dos metodos que debemos considerar para obtener una solución particular,, se llama método de los coeficientes indeterminados.

La idea básica es una conjetura o propuesta coherente acerca de la forma de originada por los tipos de funciones que forman el dato. El método es básicamente directo, pero está limitado a ecuaciones lineales no homogéneas, como la ecuación (i), en que

1. Los coeficientes son constantes.

2. es una constante k, una función polinomial, una función exponencial , funciones seno o coseno como , , o sumas y productos finitos de esas funciones.

Algunos ejemplos de las clases de funciones adecuadas para nuestradescripción: ,,, ,,etc.:

Esto es, es una combinación lineal de funciones del tipo

,

en donde n es un entero no negativo y y ,son números reales. El método de los coeficientes indeterminados no se aplica a ecuaciones de la forma (i) cuando:

,,,,etc.:

El conjunto de funciones formado por constantes, polinomios, exponenciales, senos y cosenos tiene la notable propiedad de que lasderivadas de sus sumas y productos son, de nuevo, sumas y productos de constantes, polinomios, exponenciales , senos y cosenos. Como la combinación lineal de las derivadas debe ser idéntica a , parece lógico suponer que tiene la misma forma que .
Ejemplo 1
Resolver .
Paso 1. Primero resolveremos la ecuación homogénea asociada
Factorizando encontramos los valores para .-------------------------------------------------

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Paso 2. Como la función es una constante, supondremos una solución particular que también tenga la forma de una constante:

Paso 3. Sustituir valores para en la ecuación no homogénea.

Paso 4. Sustituir en la ecuacion para la solucion general.

Ejemplo 2
ResolverPrimero resolveremos la ecuación homogénea asociada . Al aplicar la fórmula cuadrática tenemos que las raíces de la ecuación auxiliar son . Entonces, la función complementaria es:

Como la función g(x) es un polinomio cuadrático, supondremos una solución particular que también tenga la forma de un polinomio cuadrático:

Tratamos de determinar coeficientes A, B y C específicos para los que seauna solución. Si sustituimos el valor de Y obtenemos :
y
de las dos ecuaciones obtendremos la siguiente ecuación al sustituir en la primera:

Como se supone que esta ecuación es una identidad, los coeficientes de potencias de x de igual grado deben de ser iguales, por lo tanto:

Resolvemos

y obtenemos:
y , La solución particular es

La solución general de la ecuación dada es:...