manejo de la derivada

La derivada 3.1.4. INTERPRETACION GEOM ´ ETRICA Y F ´ ´ISICA
Interpretaci´on geom´etrica de la derivada
La derivada de f en a es la pendiente de la recta tangente a la gr´afica de f en el punto a,que se conoce como
pendiente de f en a.
O x
y
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡ f
a x
f(a)
f(x)
x − a
f(x) − f(a)
A
P
s
O x
y
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✡ f
a
f(a)
A
t
x → a
⇓
P → A
⇓
secante s → tangente t
⇓
Pendiente de la secante: f(x) − f(a)
x − a
−→−→−→ Pendiente de la tangente: limx→af(x) − f(a)
x − a
= f
0
(a)
Rectas tangente y normal a una curva
Tangente: y − f(a) = f
0
(a)(x − a) Normal: y − f(a) = −1
f
0(a)
(x − a) (si f
0
(a) 6= 0)
Interpretaci´on f´ısica de laderivada. Aplicaciones
Si x(t) es la posici´on de un m´ovil en el instante de tiempo t, la velocidad media en el intervalo de tiempo
[t, t + h] y la velocidad instant´anea en el instante t son,respectivamente:
vm([t, t + h]) = x(t + h) − x(t)
h
v(t) = lim
h→0
x(t + h) − x(t)
h
= x
0
(t)
La derivada de la velocidad es la aceleraci´on: a(t) = v
0
(t) = x
00(t).
En general, la derivadade y = f(x) es el ritmo de cambio (velocidad) con que var´ıa la magnitud y respecto1. Halla las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gr´afica de la funci´on y =
1
x + 2
en x = −3.
2.Halla las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva x
2 + 2xy = y
3
en el punto (1, −1).
3. Halla todos los puntos con tangente vertical de la cardioide: ¡
x
2 + y
2
¢3/2 =
p
x
2+ y
2 + x.
4. Determina el ´angulo que forman las curvas y = 1 − x
2
e y = x
3 + 5 en sus puntos de corte.
5. Halla a, b y c para que sea m´aximo el orden de contacto de las funciones f(x) = x4 + 2x
2 − x + 1 y
g(x) = ax2 + bx + c en x = 0. ¿Cu´al es dicho orden?
6. Un objeto se mueve sobre el eje de abscisas siendo x(t) = t
3 − 12t
2 + 36t − 27 su posici´on en instante t.
Describe...