mat 9u4

MATEMÁTICA
Unidad 4

Sistemas de ecuaciones
lineales con tres
incógnitas.
Binomio de newton y
triángulo de Pascal

Objetivos de la Unidad:
Utilizarás los sistemas de ecuaciones lineales, aplicando sus
métodos y técnicas, en la propuesta de alternativas de solución a
problemas de su realidad.
Propondrás con criticidad soluciones a diversos problemas
relacionados con el ámbito escolar ysocial, aplicando la
potenciación algebraica y sus propiedades.

55

Sistema de Ecuaciones
Lineales con tres
incógnitas
solución

Algebraicos

Por determinantes

Reducción

Método de Cramer

Potencia entera de un polinomio

Polinomio al cuadrado y al
cubo
Desarrollo del binomio de
Newton
Triángulo de Pascal

Descripción del proyecto
Al finalizar, esta unidad, podrás ayudarle a una empresa quetransporta paquetes de
tres formas diferentes a decidir cuál es la solución a condiciones dadas.

56 Matemática - Noveno Grado

Lección 1

Cuarta Unidad

Sistemas de ecuaciones lineales con tres incógnitas
Método de reducción
Motivación

E

n una construcción, tres varillas cilíndricas se hallan ubicadas
como te lo mostramos en la figura de la derecha.
El ingeniero a cargo de la obra necesita sabercuál es el diámetro
de cada una, si están ubicadas en tal forma que al medirlas se
tiene que:

C

B

A = 1.250 cm, B = 1.625 cm y C = 1.875 cm.
Observa que A representa la suma de los diámetros de la varilla
más pequeña con la mediana.
¿Qué representa B?
¿Puedes decir qué representa C? ¿Existirá una forma para
encontrar el diámetro de cada una?

A

Indicadores de logro:
Resolverás problemas queconllevan sistemas de ecuaciones
de tres incógnitas, con orden y perseverancia.

Identificarás, construirás y explicarás con seguridad un
sistema de ecuaciones lineales de tres incógnitas.
Interpretarás, aplicarás y explicarás los métodos de solución
para sistemas lineales de tres incógnitas.

Solución de ecuaciones lineales con tres incógnitas por
el método de reducción
Con los siguientes ejemplosaprenderás a resolver un
sistema de ecuaciones con tres incógnitas.




Ejemplo 1

Se multiplica la Ec. 2 por (−1) para eliminar la
incógnita “y”.

Resuelve el sistema de ecuaciones.
2x + y + z = 7
x + y + 2z = 18
x + 2y + z = 15

(Ec.1)
(Ec.2)
(Ec.3)

Solución:





2x + y + z = 7
x + y + 2z = 18

2x + y + z = 7
–x – y – 2z = –18
x
–z = –11

(Ec. 1)
(Ec. 2)

(Ec. 1)
(Ec.2 )
(Ec.4)

Paso 2: Ahora eliminas la misma incógnita, para el caso
“y”, tomando una pareja distinta de ecuaciones.

Paso 1: Se toman dos de las tres ecuaciones.

Noveno Grado - Matemática 57

UNIDAD 4
De esta manera, obtienes una pareja de ecuaciones que contiene sólo dos incógnitas, la
cual puedes resolver por los métodos que ya estudiaste.
Vas ahora a tomar las ecuaciones (Ec. 2) y (Ec. 3):

x + y +2z = 18
(Ec. 2)

x + 2y + z = 15
(Ec. 3)
Multiplicas entonces (Ec. 2) por –2 y la sumas a (Ec.3) para eliminar “y”

–2x – 2y – 4z = –36 (Ec. 2) por –2

x + 2y + z = 15 (Ec. 3)

– x – 3z = –21 (Ec. 5)
Paso 3: ahora tienes dos ecuaciones con dos incógnitas

x – z = –11 (Ec.4)

– x – 3z = –21 (Ec.5)
Puedes observar que al sumar ambas ecuaciones se elimina la incógnita x

x – z =–11
(Ec. 4)

– x – 3z = –21
(Ec. 5)

– 4 z = – 32
−32
−4
z=8

z =




Paso 4: ahora sustituyes el valor de z en (Ec.4)

x – 8 = –11

x = –11 + 8
x = −3

Para encontrar el valor de x también puedes utilizar la Ec. 5. Hazlo en tu cuaderno y
verifica que x = −3.
Por último, sustituyes los valores x = – 3, z = 8 en cualquiera de las ecuaciones
originales para encontrar “y”.

2(– 3) + y +8 = 7
(Ec.1)

–6 + y + 8 =7

y = 7+6 –8

y=5
La solución del sistema de ecuaciones es: x = –3, y = 5, z = 8
Verificación:
Incógnitas
x= −3
y= 5
z= 8

58 Matemática - Noveno Grado

2x + y + z = 7(Ec.1) x + y + 2z = 18(Ec.2) x + 2y + z = 15(Ec. 3)
2(−3) + 5 + 8 ?= 7
−6 + 5 + 8 ?= 7
7=7

−3 + 5 + 2(8) ?= 7
2 + 16 ?= 7
18 = 18

−3 + 2(5) + 8 ?= 15
−3 + 10 + 8 ?= 15
15 = 15

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