Mate 4

Unidad 5 Transformaciones lineales

Tambien llamada funcion lineal. Es una aplicación entre dos espacios vectoriales que preserva las operaciones de suma de vectores y producto por un escalar. El término función lineal se usa incorrectamente en análisis matemático y en geometría para designar una recta, un plano, o en general una variedad lineal.
Son aplicaciones lineales los operadoresusados en la formulación matemática de la mecánica cuántica.
Concepto:
Se denomina transformación lineal, función lineal o aplicación lineal a toda aplicación cuyo dominio y codominio sean espacios vectoriales que cumpla la siguiente definición:
Sean V y W espacios vectoriales sobre el mismo espacio o campo K, y T una función de V en W. T es una transformación lineal si para todo par de vectoresu y v pertenecientes a V y para todo escalar k perteneciente a K, se satisface que:
1. T (u+v)= t(u)+t(v)
2.t(ku)=kT(u) donde k es un escalar.

5.1 definicion de transformación lineal y sus propiedades
INTRODUCCIÓN

Para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales emplearemos dos herramientas matemáticas que facilitar los cálculos: las matrices y los determinantes.

Las matrices ylos determinantes nos permiten expresar de una manera clara, concisa y elegante la condición de compatibilidad de los sistemas de ecuaciones lineales (s.e.l.) - Teorema de Rouché-Fröbenius -.

Cuando estudiamos un s.e.l. debemos preguntarnos:

¿Tiene soluciones el sistema?, es decir, ¿es compatible?

Si tiene soluciones ¿cuántas y cuales son?

Visto esto, estudiar un sistema es:DISCUTIR = Averiguar si un s.e.l. tiene solución, y si tiene, ver si es única o no.

RESOLVER = Hallar la solución si es única, o las soluciones si son infinitas.

ESTUDIAR = DISCUTIR + RESOLVER

5.1 DEFINICIÓN TRANSFORMACIÓN LINEAL Y SUS PROPIEDADES

Se denomina transformación lineal, función lineal o aplicación lineal a toda

aplicación cuyo dominio y codominio sean espaciosvectoriales y se cumplan las siguientes condiciones:

Transformación lineal: Sean V y W espacios vectoriales reales. Una transformación lineal T de V en W es una función que asigna a cada vector v ϵ V un vector único Tv ϵ W y que satisface, para cada u y v en V y cada escalar ∝,

1.T (u+v)= Tu+Tv
2.T(∝v)= ∝Tv, donde ∝ es un escalar.
Tres notas sobre notación.

1.Se escribe T: V → W paraindicar que T toma el espacio vectorial real V y lo lleva al espacio vectorial real W; esto es, T es una función con V como su dominio y un subconjunto de W como su imagen.
2.Se escriben indistintamente Tv y T (v). denotan lo mismo; las dos fases se leen “T de v”. eso es análogo a la notación funcional f(x), que se lee “f de x”.
3.Muchas de las definiciones y teoremas se cumplen también para losespacios vectoriales complejos (espacios vectoriales en donde los escalares son números complejos).
•Terminología: las transformaciones lineales con frecuencia se llaman operadores lineales.
•Nota: No toda transformación que se ve lineal es en realidad lineal. Por ejemplo, defina T: R→R por Tx= 2x + 3. Entonces la grafica de {(x, Tx): xϵ R} es una línea recta en el plano xy; pero T no es linealporque T(x+ y) = 2(x +y) + 3 = 2x + 2y + 3y Tx + ty = (2x+3) + (2y+3) = 2x + 2y + 6. Las únicas transformaciones lineales de R en R son funciones de la forma f (x) = mx para algún número real m. así, entre todas las funciones cuyas graficas son rectas, las únicas que son lineales son aquellas que pasan por el origen. En algebra y calculo una función lineal con dominio R esta definida como unafunción que tiene la forma f (x) = mx + b. asi, se puede decir que una función lineal es una transformación de R en R si y solo si b (la ordenada al origen) es cero.

‘5.2 EJEMPLOS DE TRANSFORMACIONES LINEALES’ Una transformación es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un vector para convertirlo en otro vector.

Los espacios vectoriales son conjuntos con una estructura adicional, al...