Mate 5

UNIVERSIDAD NACIONAL
DE INGENIERIA
FACULTAD DE INGENIERÍA ELECTRICA Y ELECTRONICA

Ejemplos 1. Encontrara:
∞

N=

−∞

∫

xdx

( x 2 + 4 x +13)

2

SOLUCION
∞

N=

−∞

∫

xdx

(( x + 2) +3 )
2 2

2

Ahora hacemos: F(z) =

e

iaz

; entonces
− ya

u(x,y) =
v(x,y) =

e e

cos(ax) ; sin(ax) ;(conveniente)

− ya

v(x,0) = sin(ax) ….(1
v( α , β ) =e

− βa

sin(aα ) ….(2

|F(z)| =

e

− ya

≤ 1 ; (acotada en el semiplano superior)

Por Poisson : pi * v(α , β )
∞

β

=

−∞

∫

v( x,0)dx

( x −α ) + β
2

2

…..(3

Ahora (1 y (2 en (3 :

e

− aβ

* sin(aα ) * pi

∞

β

=

−∞

∫

sin(ax)dx

( x −α ) + β
2

2

Luego derivamos respecto de a :
− aβ

e

* cos(aα ) * pi * α

β

-e

− aβ

sin(aα ) * pi =

∞

−∞

∫

cos(ax) * xdx

( x −α ) + β
2

2

Derivamos respecto de β entonces :

e

− aβ

* ((aβ + 1) cos(aα ) * α − a * sin(aα ) * β ) * pi
2

∞

β

3

= - 2*

−∞

∫

x * cos(ax)dx

(( x −α ) + β )
2 2

2

Finalmente:

α = -2 ; β = 3 ; a = 0

∞

N=

−∞

∫

xdx

( x 2 + 4 x +13)

2

=

− pi 27

2.Hallar

x dx L= ∫ ( x 2 + a 2)
0

∞

2

2

; (a>0)

SOLUCION

1 L=( ) ∫ 2 −∞

∞

x dx ( x 2 + a 2)

2

2

Ahora hacemos: F(z) =

e

iaz

; entonces
− ya

u(x,y) =
v(x,y) =

e e

cos(ax) ;(conveniente debido a que tendremos que derivar 2 veces) sin(ax) ;

− ya

u(x,0) = cos(ax) ….(1
u( α , β ) = |F(z)| =

e

− βa

cos(aα ) ….(2

e

− ya

≤ 1 ;(acotada en el semiplano superior)

Por Poisson : pi * u (α , β )
∞

β

=

−∞

∫

u ( x,0)dx

( x −α ) + β
2

2

…..(*

Ahora (1 y (2 en (* :

e

− aβ

* cos(aα ) * pi

∞

β

=

−∞

∫

cos(ax)dx

( x −α ) + β
2

2

Luego derivamos respecto de a dos veces :

* pi e cos(aα ) * (β * pi − α β ) +2* e
− aβ

2

− aβ

sin(aα ) * α * pi =

∞

−∞x * cos(ax)dx ∫− ( x −α ) + β
2

2

2

Ahora hacemos α = 0

e

− aβ

* β *π =

∞

−∞

∫

−x

2

* cos(ax)dx

x

2

+β

2

De la misma forma derivaremos respecto de β :

Finalmente a = 0
∞

2*L =

−∞

x dx ∫ 2 2 (x +a )

2

2

=

π 2β

L=

π 4β

3. Evalué
∞

R =

−∞

∫

dx

(x

2

2 2 + a 2) * ( x + b )

; (a>0 ; b>0)SOLUCION
∞

R =

−∞

∫ ((

1

a

2

− b )( x + b )
2 2 2

−

1 (a − b )( x + a )
2 2 2 2

)dx

R = R1 + R2
∞

R1 =

−∞

∫

dx

(a 2 −b 2) * ( x + b )
2 2

∞

R2 = -

−∞

∫

dx

(a 2 −b 2) * ( x + a )
2 2

Entonces hacemos : F(z) = 1 ; |F(z)| ≤ 1 ; (acotada en el semiplano superior)
u(x,y) = 1 u(x,0) = 1 u( α , β ) = 1 Por Poisson :

π u (α ,β ) = β

∞

−∞

∫

u ( x,0)dx

( x −α ) + β
2

2

π = β

∞

−∞

∫

dx

(x −α ) + β
2

2

…..(3

.R1 ; α = 0 ; β = b ; en (3) R1 = (

π
b

)*(

1

a

2

−b

2

)

.R2 ; α = 0 ; β = a ; en (3)

R2 = - (

π
a

)*(

1

a

2

−b

2

)

Finalmente :

R=

π
ab(a + b)

4. Encontrar

∞

C =

∫
0

( x + 1)dx
2

x

4+1

SOLUCION

( x + 1)dx 1 C=( ) ∫ 2 −∞ x4 + 1
∞
∞

2

C =(

1 1 1 ) * ∫( 2 + 2 )dx 4 ( x − 2 x + 1) ( x + 2 x + 1) −∞

1 C =( ) 4

∞

−∞

∫( (x−

1
2

+ + 1 2

1
2

)dx + 1 2

2 ) 2

(x+

2 ) 2

C=(

1 )(C1+C2) 4

F(z) = 1 ; |F(z)| ≤ 1 ;(Acotado en el semiplano superior)
u(x,y) = 1 ; u(x,0) = 1 u( α , β ) = 1

.Por poisson sabemos que :

pi * u(α , β )

∞

β

=

−∞

∫

u ( x,0)dx

( x −α ) + β
2

2

pi

∞

β

=

−∞

∫

dx

(x −α )

2

+β

2

…..(*

.C1 ; α = 1 C1 = ( )( π 4 .C2 ; α = -

2 1 ; β = ; en (*) 2 2

2)
1 2 ; β = ; en (*) 2 2

1 C2 = ( ) 2 π 4 2π 2

Finalmente : C =

5. Determine el valor de
dφ

2 pi

N =

∫
0

(a +b cos φ )

2

; (a>b>0)

SOLUCION...