Mate I Semana 3 4 2015 1

Matemática I
Matrices
Tipos de matrices
Operaciones con matrices
Determinante de una matriz
Aplicaciones
Semana 4

Matemática I
Matrices
Tipos de matrices
Operaciones con matrices
Determinante de una matriz
Aplicaciones

Matriz
Definición. Una matriz A es un ordenamiento o arreglo
rectangular de mn números reales denotado por:

 a11 a12 ... a1n
 a

a
...
a
21
22
2n

A
4
a
 M
M 44
OijM


 am1 am2 ... amn

Elemento de la matriz A
Elemento que ocupa la
fila i y la columna j

 a11 a12 ... a1n
 a

a
...
a
21
22
2n

A
 M
M O
M


 am1 am2 ... amn
Columna 1

C1

Columna n

Cn

Observa que hay m filas y n columnas

fila 1: f 1

fila m: f m

 Llamamos orden de la matriz A a la expresión mxn.
 Cuando m ≠ n diremos que la matriz es rectangular.
 Cuando m = n diremosque A es matriz cuadrada, en este
caso también se dice que la matriz es de orden m.
Ejemplo.

 1 -2 0
Dadas las matrices: A = 

3
4
6



2×3

 4 -2
y B=

3
1

 2×2

Determinar: a11 = ? , a22 = ?, a23 = ?; b12 = ?; b21 = ?
¿ Y qué pasa con a31 , a24 , b13 ?

Representación general de una matriz

La matriz

 a11 a12 ... a1n
 a

a
...
a
21
22
2n

A
 M
M O
M


a
a
...
a
 m1 m2mn

se representa por:
donde

A
=aijm×n

i = 1,2, …, m;
j = 1, 2 ,…., n

y se lee: Matriz A de elementos aij de orden mxn

Ejemplos . Forme las matrices A3x3 y B3x2 , si se sabe:
 i - j2 si i < j

aij =  3i - j2 si i = j
 i2 - j2 si i > j


 3i  2 j
 2

bi j  
 2i  3 j
 3

; si i  j
; si i  j

2 3 8
3 2 7
A

Rpta:


8 5 0 

Igualdad de Matrices. Dos matrices A y B,ambas del
mismo orden, son iguales si tienen los mismos
elementos.

 1 -2
1

Ejemplo. Si 
= 

 4 3
 2x
Rpta: x = 2, y = - 4

x + y
, halle x e y.
3 

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Tipos de matrices
Operaciones con matrices
Determinante de una matriz
Aplicaciones

1. Matriz Fila (o Vector Fila): Cuando tiene solo una fila.
Ejemplo: M1×4 =  1 -5 3 2
2. Matriz Columna (o Vector Columna):Cuandotiene
una sola columna.
Ejemplo:

 6
E3×1 =  2
 -7

3. Matriz Nula: Cuando todos sus elementos son cero.
 0 0 0
Ejemplo: A =  0 0 0
 0 0 0

 0 0 0
B=

0
0
0



4. Matriz Cuadrada: Cuando m = n

(N ̊ filas = N ̊

columnas)

 8 - 2 1
 3 - 5 9
A
=
Ejemplo:


 - 6 0 2

Diagonal principal:

diagonal principal

 a11 a12 ... a1n 
a

a
...
a
22
2n 
An  21
 




 an1 an 2 ... a nn  nn

5. Matriz Diagonal: Ocurre cuando los elementos que no
pertenecen a la diagonal principal son todos iguales a cero.
 2 0 0


Ejemplo: D 0 4 0
 0 0 8

6. Matriz Identidad. Es una matriz diagonal, cuyos elementos de la diagonal principal son todos iguales a la unidad.
Ejemplos:
 1
 2x2 =  2 = 
 0

 1
 1 0 0
0
0


1 , 3x3  3   0 1 0,  4   0

 0 0 1

0

0
1
0
0

0
0
1
0

0
0
0

1

7. Matriz triangular superior: Es una matriz cuadrada
cuyos elementos que se encuentran debajo de la
diagonal principal son iguales a cero.
8. Matriz triangular inferior: Matriz cuadrada cuyos elementos
que están por encima de la diagonal principal son iguales
a cero.
Ejemplos
 2 -3 1
B =  0 -5 7
 0 0 4

M. triangularsuperior

 9 0 0
C =  -1 4 0
 2 3 -8

M. triangular
inferior

9. Matriz simétrica. Es una matriz cuadrada donde los elementos simétricos, respecto de la diagonal, son iguales.

 1 3 8
Ejemplo: E =  3 2 7


 8 7 8

diagonal principal

10. Transpuesta de una matriz A: Es otra matriz denotada
por At en donde los elementos de la fila y la columna
están intercambiados.

 3 0
 3 -12

t 
Ejemplo: A = 
  A =  -1 7
0
7
-8


 2 -8

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Aplicaciones

Operaciones con Matrices
1. Suma ( o resta) de matrices: Las matrices deben tener el
mismo orden. La suma o resta se realiza termino a termino.
 1 -2 6 5  2 9 -4  -6
 2 0 3 4
Ejemplo:  0 -1 2 -7 +


 2 8 -3 5...