MATEMÁTICA III

I

UN

Examen de Admisión UNI 2009-II

SOLUCIONARIO
Matemática
Tema P

Pregunta N.º 21

Análisis y procedimiento

En los sectores circulares AOB y COD. Si
L AB = a 3 u, OC = b, calcule m AOB

Piden m AOB.

A

s

q

O

A

C

b

C

2s

b

a3
O

D

qrad

B

A)

a
5

B)

a
b

D

C) a
E) ab

D) b

B

Dato
L AB = a 3, OC = b
SeaSolución

m AOB=θrad →

Tema

(a 3 )
3S =

Referencias

2θ

Cálculo del área de un sector circular

r

S=

r

(I)

2

→ 3S =

3a 2
2θ

(II)

Reemplazamos (I) en (II)

A

qrad

1⋅ ⋅ 2
θb
2

S=

Del gráfico, se establece lo siguiente:

Área de un sector circular

O

a3

2s

s

µ
B

1 ⋅2
θr
2

S=

Se sabe lo siguiente:
S: área del sectorcircular
θ: número de radianes
r: radio del sector circular
´: longitud del arco de circunferencia

´2
2θ

⎛ θ ⋅ b2 ⎞ 3 ⋅ a2
3⎜
=
⎜2⎟
⎟
2θ
⎠
⎝

→ θ2 =

a2
b2

Debido θ > 0

a
Se deduce que θ = .
b
Respuesta
La medida del ángulo AOB es

a
.
b

Alternativa B

15

Matemática
Pregunta N.º 22
En un triángulo ABC se tiene AB=a, BC=b y
m ABC=120º. Calcule lalongitud de la bisectriz
interna BF , F ∈ AC.
A)

ab
a+b

D)

ab 3
a+b

B)

2ab
a+b

C)
E)

Sea: BF=x → x=
∴ x=

2a ⋅ b
⋅ cos 60°
a+b

a⋅b
a+b

Respuesta

ab
2ab 3
a+b

La longitud de la bisectriz interna BF es
ab
a+b

Alternativa A

Solución
Tema

Pregunta N.º 23

Resolución de triángulos oblicuángulos
Referencias
Cálculo de la bisectriz interior deun triángulo.
B
B
2

c

B
2

En el triángulo rectángulo ABC (recto en B)
con BC=h y m CAB=θ, se tiene inscrita una
semicircunferencia según se muestra en la figura.
Exprese el radio de la circunferencia en función
de h y θ.
C

a

Vb
A

C

A

b

A)

Vb: Representa la bisectriz interior relativa al
lado AC.

h cos θ
1 + sen θ

D)

2a ⋅ c
B
Vb =
⋅ cos
a+c
2•

B

h cos θ
sen θ + cos θ

B)

h
sen θ

C)

h
cos θ

E)

hsenθ
senθ + cos θ

Solución

Análisis y procedimiento

Tema

Piden la longitud de la bisectriz interna BF.

Resolución de triángulos rectángulos

B

Referencias

60º 60º

a

x

n

b

ncscq

ncotq
A

F

C

Datos: AB=a; BC=b y m ABC=120°.

•
•

q

cos θ
sen θ
Identidad recíproca:senθcscθ=1
Identidad por cociente: cot θ =

16

Matemática
Solución

Análisis y procedimiento
C

Tema
Ángulo diedro

M

h

Referencias

r
A

q

Or

rcscq

B

En el triángulo rectángulo OMA
(recto en M) se cumple que OA=rcscθ:
En el triángulo rectángulo ABC observamos:
cot θ =

cos θ r ( csc θ + 1)
r csc θ + r
→
=
sen θ
h
h

Para proyectarortogonalmente un segmento
sobre una recta, se traza desde los extremos
del segmento rectas perpendiculares a la recta
dada. Luego, el segmento que une los pies de
los perpendiculares es la proyección ortogonal
del segmento sobre la recta.
B

B
B

A

→ hcosθ=r(senθcscθ+senθ)
A'

B' A'

B'

L

B' A' B'

A

h cos θ
→ r=
1 + sen θ

A'B': Es la proyección ortogonal de AB sobre L .Respuesta

Análisis y procedimiento

Por lo tanto, el radio de la semicircunferencia es
igual a

B
A

A'

→ hcosθ=r(1+senθ)

A

A

h cos θ
.
1 + sen θ

2

Alternativa A
E

Pregunta N.º 24
En la figura, los planos son perpendiculares. El
segmento BH mide 2,5 cm y es la proyección
ortogonal del segmento AB sobre el segmento BC.
Determine el coseno del ángulo A BC.

52,5
B

2

2
2

D

Según el dato y el gráfico, AH debe ser perpendicular a BC.
Luego, en el
cos θ =

21
H
q
B

H

q

A

A) 0,41
B) 0,47
C) 0,50
D) 0,67
E) 0,71

C

21

2

BAH tenemos

BH
AB

C

Como AE=DC=2 y m BEA=90º

2

Utilizando el teorema de Pitágoras en el
obtenemos

BEA,

AB=5

17

Matemática
Solución

Como BH=2,5 (dato)...