MATEMATICA 3


MATEMÁTICA BÁSICA III

ECUACIONES DIFERENCIALES DE VARIABLES SEPARABLES
Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen una variable dependiente y sus derivadas con respecto auna o más variables independientes. Por ejemplo:
1. Dy/Dt = 30y ó y’= 30y (modelo de crecimiento de poblaciones).
2. Dy/Dt = 3(y − 60) ó y’= 3(y − 60) (ley de enfriamiento de Newton).
3. Dy^2/dx^2 +3 Dy/Dx + 2y = 0 ó y”= + 3y´+ 2y = 0.
4. D^3y/Dx^3+ 2 (D^2y/Dx^2)^2= cosx ó y”´ + 2(y”)^2 = cosx.
Llamamos a la x y a la t variables independientes, y a la y = y(x) ó y = y(t), variable dependiente.A estas ecuaciones con una sola variable independiente se les llama ecuaciones diferenciales ordinarias.
El orden de una ecuación diferencial es el de la derivada de mayor orden en la ecuación. Así,y” + 3y´= x + 2 es de orden 2.
El grado de una ecuación diferencial es el grado de la derivada de mayor orden que aparece. Así, (y”)^3 + 3(y´)^4 = x + 2 tiene grado 3
Una ecuación diferencialordinaria general de orden n se suele escribir en la forma F(x, y, y´, . . . , y^n) = 0, aunque otro modo habitual es expresarla en forma canónica o reducida aunque otro modo habitual es expresarla enforma canónica o reducida y^n = F(x, y, y´, . . . , y^n−1)
Ecuaciones diferenciales de primer orden
Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden  que puede escribirse en la forma: 


Se llamaecuación diferencial en variables separadas.
Observación: una ecuación de la forma:





Puede transformarse en una ecuación en variables separadas al dividir por el factor 


Y al integrarobtenemos la solución




Hay que tener presente que al dividir por el factor  puede perder soluciones que anulan este factor, las cuales pueden ser soluciones singulares.
EJEMPLO 1:
Resolverla ecuación diferencial ordinaria siguiente:


(DIVIDIENDO) por el factor  obtenemos


(INTEGRANDO)


(SIMPLIFICANDO)




El factor  es “cero” cuando  y con y al sustituirlas en la...