Matematica Teorem

En cálculo diferencial, el teorema de valor medio (de Lagrange), teorema de los incrementos finitos, teorema de Bonnet-Lagrange o teoría del punto medio es una propiedad de las funciones derivables en un intervalo. Algunos matemáticos consideran que este teorema es el más importante del cálculo (ver también el teorema fundamental del cálculo integral). El teorema no se usa para resolverproblemas matemáticos; más bien, se usa normalmente para demostrar otros teoremas. El teorema de valor medio puede usarse para demostrar el teorema de Taylor ya que es un caso especial.
Índice
  [ocultar] 
1 Enunciado para una variable
1.1 Demostración
1.2 Forma integral del Teorema del valor medio
1.3 Otra demostración
2 Enunciado para varias variables
3 Generalizaciones
4 Véase también
5 Referencias6 Enlaces externos
Enunciado para una variable[editar]

Para una función que cumpla la hipótesis de ser definida y continua [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b) entonces existe al menos algún punto c en el intervalo (a, b) en que la pendiente de la curva es igual que la pendiente media de la curva en el intervalo cerrado [a, b].
En esencia el teorema dice que dada cualquierfunción f continua en el intervalo [a, b] y diferenciable en el intervalo abierto (a, b) entonces existe al menos algún punto c en el intervalo (a, b) tal que la tangente a la curva en c es paralela a la recta secante que une los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)). Es decir:

Este teorema lo formuló Lagrange.
El teorema del valor medio de Lagrange de hecho es una generalización del teorema de Rolle que dice que si unafunción es definida y continua [a, b], diferenciable en el intervalo abierto (a, b), y toma valores iguales en los extremos del intervalo – en otras palabras, f(a) = f(b) – entonces existe al menos algún punto c en el intervalo (a, b) tal que la tangente a la curva en c es horizontal, es decir f'(c) = 0.
Demostración[editar]
1) Primero se consideran dos puntos  y  pertenecientes al gráfico de lafunción. La ecuación de la recta que pasa por estos dos puntos es:

Se define una función auxiliar:

Puesto que f es continua en [a, b] y diferenciable en (a, b), lo mismo se puede decir de g. Además g satisface las condiciones del Teorema de Rolle en [a,b] ya que:

Por el Teorema de Rolle, como g es derivable en (a, b) y g(a) = g(b), existe un c perteneciente (a, b) tal que g'(c) = 0, y por tanto:y así

que es lo que se quería demostrar.
2) Sea  la pendiente de la recta secante entre , se define la ecuación punto-pendiente:


o también,

De acuerdo al enunciado la función es derivable en , por lo que se puede escoger algún valor  en dicho intervalo tal que  existe y es la pendiente de la recta tangente en dicho punto y por ende la recta tangente tiene la forma (punto-pendiente):

otambién,

Se observa que se llega a un sistema lineal de 2x2

La matriz del sistema es:

Y su determinante es:

Para que el sistema no tenga solución se debe cumplir det(A)=0, por lo tanto las rectas son paraleas en x=c, es decir f'(c) = mab
Entonces, existe al menos un punto que no da solución al sistema y además la recta tangente al mismo es paralela a la recta entre a y b, es decir:

o también,

Conello queda demostrado el teorema del valor medio.
Forma integral del Teorema del valor medio[editar]
Para una función continua  en el cerrado , existe un valor  en dicho intervalo, tal que1

Demostración Dado que la función  es continua en el cerrado , posee un valor máximo en dicho intervalo para algún , que llamaremos  y también un valor mínimo en el mismo intervalo: , para algún . Es decir y .Si consideramos las áreas de los rectángulos con base  y altura  ó  tendremos la siguiente desigualdad:

Lo que implica:

De donde se deduce que debe existir algún  para el cual la función  alcanza el valor de la integral , es decir:

El teorema no especifíca como determinar , pero resulta que  coincide con el valor medio (promedio) de la función  en el intervalo .
Otra demostración[editar]...