Matematicas 2 integrales granville
LIMITES Definiciones:
Definici`n de lmite de una funcin en un punto: Se dice que la funcin o f converge a L en x0 ,y se escribe l´ f (x) , cuando a valores x prximos a x0 ım
x→x0
les correspondientes valores de f(x) estn prximos a L.
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Definici`n de lmites laterales de una funci`n en un punto: Se dice que o o la funcin f converge por la derecha (izquierda) a L en x0 , y se escribel´ f (x) = ım
x→x0
L ( ), cuando a valores x prximos a ”X0 ”conX ¿X0 los correspondientes valores de f(x) estn prximos a L. El lmite de la funcin f(x) cuando x se aproxima a p ser L si y solo s para todo ? ¿0 existe un ? ¿0 tal que para todo nmero real x en 0 ¡—x - p— ¡?, tenemos que —f(x) - L— ¡?
El siguiente concepto de lmite es el de la definicin formal, la cual no es muy aprensible parael comn de la gente. Dicha formulacin matemtica es ms conocida como epsilon - delta. Por ello es importante entender el concepto de lmite como aquella herramienta matemtica que sirve para conocer el comportamiento de una funcin alrededor de un punto, y que no dice nada de tal comportamiento precisamente en dicho punto.
Supngase f : (M, dM) -¿(N, dN) es mapeado entre dos espacios mtricos, p esun punto lmite de M y L?N. Decimos que .el lmite de f en p es L 2escribimos
x→p
l´ f (x) = L ım
si y slo si para todo ? ¿0 existe un ? ¿0 tal que para toda x?M en 0 ¡dM(x, p) ¡?, tenemos dN(f(x), L) ¡?. En trminos de desigualdades, tenemos que el lmite de la funcin f ( x ) en x
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= a es L si se cumple lo siguiente: para toda ? ¿0 existe un ? (?) ¿0 tal que, para toda x: si 0 ¡|x −a| < δ, entonces |f (x) − L| < Observemos que la solucin de la desigualdad 0 ¡— x - a — ¡? es la siguiente: x pertenece a la vecindad ( a - ? , a ) U ( a, a + ? ): x no toca el valor de a, pues 0 ¡— x - a — implica x distinto de a, mientras que la solucin de — f (x) - L — ¡? es la siguiente: y pertenece al intervalo ( L - ? , L + ? ). Esto proporciona la clave de la comprensin del concepto delmite, pues mientras que el valor de la x est en la vecindad horizontal alrededor del punto .a 2 agujereada en .a¸on radio delta y centro .a”, aun cuando en ese punto .a”no est c definida, el valor de y est en el intervalo vertical con centro en f(a) y radio psilon.
NOTACION
Sea f una funcin real, entonces
x→p
l´ f (x) = L(x, L ∈ R) ım
si y slo si para todo ε > 0existeun? >0talqueparatodonmerorealxeneldominiodelaf uncin 0 ¡—x-p— ¡δ ⇒ |f (x) − L| < ε
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Notacin formal: ∀ε > 0, ∃δ > 0/∀x∈D 0 < |x − p| < δ ⇒ |f (x) − L| < ε
00 Ejemplo: 0/0 es una indeterminacin pues lmites de cocientes donde los lmites de dividendo y divisor separadamente son cero, pueden terminar dando cualquier cosa, como los siguientes:
t t2 t = ∞ l´ ım = 1 l´ ım =0 t→0 t t→0 t2 t→0 t l´ ımPROPIEDADES DE LOS LIMITES
Sean f y g dos funciones tales que l´ f (x) = L y l´ g(x) = L entonces: ım ım
x→x0 x→x0
x→x0
l´ (f (x) ± g(x)) = l´ f (x) ± l´ g(x) ım ım ım
x→x0 x→x0
x→x0
l´ (f (x) • g(x)) = l´ f (x) x g(x) ım ım
x→x0
l´ f (x) ım f (x) x→x0 = x→x0 g(x) l´ g(x) ım l´ ım
x→x0 x→x0
l´ (k • f (x)) = k • l´ f (x) ım ım
x→x0
x→x0
l´ (loga f (x)) = loga ( l´ f (x)) ım...
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