Matematicas ade

Los estudiantes deben tratar de resolver todos los ejercicios de la lista y tienen que entregar al profesor, resueltos razonadamente, los ejercicios marcados con un asterisco. 1.- Determine el dominio de las siguientes funciones: a) f (x) = ln(x2 2x 3) q b) f (x) = q e c) f (x) =
x+2 x2 1

* d) f (x) = (2 2 e) f (x) = xx+3x 2 2 x

x p

jx 1j 3

x2 )(x + 3)

Solución: a) El dominio dela función logarítmica son los números positivos, por tanto, para obtener el dominio de la función, tenemos que calcular los valores de x para los que x2 2x 3 > 0: Las raíces de la ecuación x2 2x 3 = 0 son p 2 4 + 12 2 4 = 1 x= = =3 2 2 Puesto que x2 es 2x 3 es positivo en ( 1; 1) y en (3; +1); el dominio de f (x) ( 1; 1) [ (3; +1)

b) Puesto que el dominio de la función exponencial es la rectareal, para obtener el dominio de f (x); tenemos que calcular el dominio de la función que aparece en el exponente. El dominio de la función raíz cuadrada son los números mayores o iguales que cero, por tanto, para obtener el dominio de la función x+2 tenemos que calcular los valores de x para los que x2 1 0: 8 < x + 2 0 y x2 1 > 0 x+2 o bien 0 () : x2 1 x + 2 0 y x2 1 < 0 x+2 0 y x2 1>0,x 2 y fx >1 o bien x < x+2 0 y x2 1 3 ) jx 1j > 0 si x > 3: x 3 El dominio de f (x) es f1g [ (3; +1) d) El dominio de la función raíz cuadrada son los números mayores o iguales que cero, por tanto, para obtener el dominio de la función, tenemos que calcular los valores de x para los que (2 x2 )(x + 3) 0: 8 < x + 3 0 y 2 x2 0 o bien (2 x2 )(x + 3) 0 () : x + 3 0 y 2 x2 0 p p p p 2 x 2g , x 2 [ 2; 2] x + 3 0y 2 x2 0 , x 3yf x+3 0y2 x2 0,x 3 y fx ( 1; 3] [ [ p 2 o bien x p 2g , x 2 ( 1; 3]

El dominio de f (x) es

p p 2; 2]

e) El dominio de una función racional son todos los números reales salvo aquellos para los que el polinomio del denominador sea cero, por tanto, para obtener el dominio de la función, tenemos que calcular los valores de x para los que x2 x 2 = 0: p 1 1+8 1 3 = 1 = = x= =2 22 El dominio de f (x) es ( 1; 1) [ ( 1; 2) [ (2; +1)

2.- Obtenga la ecuación de la recta que pasa por los puntos ( 2; 1) y (1; 2). Calcule la pendiente, el punto de intersección con el eje x, el punto de intersección con el eje y, y represéntela grá…camente Solución: 2

Pendiente: m= Ecuación de la recta y+2= Punto de intersección con el eje x (x 1

2

1 = ( 2)

1

1) , y =

x

1y = 0; x = Punto de intersección con el eje y x = 0; y = (dibujar).

1 ) ( 1; 0)

1 ) (0; 1)

* 3.- Obtenga la ecuación de la recta que pasa por el punto (1; 1) y que corta al eje y cuando y = 3. Calcule la pendiente, el punto de intersección con el eje x, y represéntela grá…camente Solución: Pendiente: m= Ecuación de la recta y 1 = 4(x 1) , y = 4x 3 3 ) ( ; 0) 4 4 3 Punto deintersección con el eje x y = 0; x = (dibujar). p 4.- Sea f (x) = x y g(x) = x + 1: Calcule f de ambas funciones Solución: p (f g)(x) = f (g(x)) = px + 1, el dominio de esta función es [ 1; +1) (g f )(x) =p (x)) = x + 1, el dominio de esta función es [0; +1) g(f p Nótese que x + 1 6= x + 1 5.- Represente grá…camente la función 8 Si x 0 < x x2 Si 0 < x 1 f (x) = : 2 Si x > 1 3 g y g f y obtenga el dominio 3 1=4 0 1

6.- Represente grá…camente las siguientes funciones elementales a) f (x) = jx + 1j b) f (x) = jxj 2 c) f (x) = 4 x2 * d) f (x) = 4x2 4x + 1 e) f (x) = ln(x 3) * f) f (x) = ex+1 + 2 g) f (x) = x 1 x 2 Solución: a) La grá…ca de esta función es igual que la de y = jxj trasladada una unidad a la izquierda (dibujar) b) La grá…ca de esta función es igual que la de y = jxj trasladada dosunidades hacia abajo (dibujar) c) Es una parábola. Intersección con el eje x x= p 4 = 2 =2

Como el coe…ciente de x2 es negativo, la ramas de la parábola van hacia abajo. El vértice de la parábola se encuentra en x= (dibujar) d) Es una parábola. Intersección con el eje x 4 1 16 16 = = 8 8 2 Como el coe…ciente de x2 es positivo, la ramas de la parábola van hacia arriba. El vértice de la parábola se...