Matematicas Especiales

DEFINICIÓN DE SUCESIÓN. Definición: Una sucesión de números reales es una aplicación del conjunto de los números naturales en los reales: x: n  xn - Una sucesión asigna a cada número natural un número real determinado de manera única. - A cada elemento de la sucesión lo denotamos por x n  xn y lo llamaremos término. - La sucesión se denota por x n  n ó simplemente x n  - Alelemento x n se le llama término n-ésimo de la sucesión. Definición: Una sucesión en forma recursiva o inductiva vendrá dada cuando demos el valor de x 1 y una fórmula para obtener x n1 a partir de x n .

OPERACIONES CON SUCESIONES. Definición: Si x n  y y n  son dos sucesiones de números reales , se define: Suma: x n   y n   x n  y n  Producto: x n   y n   x n  y n  Cociente:Si z n  es una sucesión con x n  n z n  0 n   , entonces  xn z z n  SUCESIONES CONVERGENTES. Definición: Diremos que el número real l es el límite de la sucesión x n  y escribimos como lim x n  l
n

si   0,  n 0   tal que n  n 0  |x n  l |   Definición: Se dice que la sucesión x n  es convergente si existe l   tal

que lim x n  l .
n

UNICIDAD DEL LIMITE.Teorema: Una sucesión x n  si tiene límite, este es único, es decir, si lim x n  a y lim x n  b entonces a  b.
n n

SUCESIONES ACOTADAS. Definición: Una sucesión x n  es acotada si  M   tal que |x n |  M, n  . Por tanto una sucesión x n  está acotada si y sólo si el conjunto x n : n   de sus términos, está acotado en . Teorema: Toda sucesión de números

realesconvergente, está acotada.

PROPIEDADES DE LAS SUCESIONES CONVERGENTES. Teorema: Sean x n  y y n  dos sucesiones de números reales que convergen a x e y respectivamente y sea    . Entonces : 1. lim x n  y n  lim x n lim y n  x  y
n n n n n

2. lim x n y n lim x n lim y n  xy
n n

3. lim x n  lim x n  x
n

x  x si lim y n  0. 4. lim y n  n y n lim y nn n
n

lim x n

Nota: Igualmente para sucesiones convergentes se tiene: a) lim ln x n   ln lim x n  ln x
n n

b) lim
n

a xn

a

n

lim x n

 a x con a  0
lim y n n

c) lim x n  y n 
n

lim x n
n

 xy

DESIGUALDADES ENTRE SUCESIONES. Teorema: Sea x n  una sucesión convergente de números reales , con x n  0 n  . Entonces: lim x n 0.
n

Teorema: Sea x n  y y n  dos sucesiones convergentes con x n  y n , n   . Entonces :

lim x n  lim y n .
n n

Teorema: Sean x n , y n  y z n  sucesiones de números reales tales que x n  y n  z n , n   y que lim x n  lim z n . Entonces :
n n n n

lim x n  lim y n 

lim z n .
n

Teorema: Sea x n  una sucesión de números realesestrictamente positivos, n1 tales que L lim xx n . Si L  1, entonces x n  converge y lim x n  0.
n n

SUCESIONES MONÓNONAS. Definición: Sea x n  una sucesión de números reales . Diremos que x n  es monótona creciente si : x 1  x 2  x 3 . . . . . . . . x n  x n1 Diremos que es monótona decreciente si:

x 1  x 2  x 3 . . . . . . . . x n  x n1 . Teorema de la convergenciamonótona: Una sucesión de números reales es convergente  es acotada. Además: a) Si x n  es creciente y acotada , entonces lim x n  sup x n .
n

b) Si y n  es decreciente y acotada, entonces lim y n  inf y n .
n

SUBSUCESIONES. Definición: Sea x n  una sucesión y sea r 1  r 2 . . . . . . .  r n . . . . una sucesión estrictamente creciente de números naturales. Entonces a la sucesiónx   n x r 1 , x r 2 , . . . , x r n , . . . . se le llama subsucesión de x n . Teorema: Si un sucesión x n  converge a x, entonces cualquier subsucesión suya también converge a x. SUCESIONES DIVERGENTES.

Definición: Diremos que la sucesión x n  tiene límite  y escribimos como lim x n  
n

Si M,  n 0   tal que n  n 0  x n  M. Diremos que la sucesión x n  tiene...