Matematicas Para Negocios Unidad 3

Manuel Méndez Barrientos 1RV6

Definición de Función:
Una función, en matemáticas, es el término usado para indicar la relación o correspondencia entre dos o más cantidades. El término función fue usado por primera vez en 1637 por el matemático francés René Descartes, quien escribió: "Una variable es un símbolo que representa un número dentro de un conjunto de ello. Dos variables X y Y estánasociadas de tal forma que al asignar un valor a X entonces, por alguna regla o correspondencia, se asigna automáticamente un valor a Y. La variable X, a la que se asignan libremente valores, se llama variable independiente, mientras que la variable Y, cuyos valores dependen de la X, se llama variables dependientes. Los valores permitidos de X constituyen el dominio de definición de la función ylos valores que toma Y constituye su recorrido".
Para que una relación de un conjunto A en otro B sea función, debe cumplir dos condiciones, a saber:
→ Todo elemento del conjunto de partida A debe tener imagen.
La imagen de cada elemento x E A debe ser única. Es decir, ningún elemento del dominio puede tener más de una imagen.
→ El conjunto formado por todos los elementos de B que son imagen dealgún elemento del dominio se denomina conjunto imagen o recorrido de f.
Definición de límite de una función
En matemática, el límite es un concepto que describe la tendencia de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor. En cálculo (especialmente en análisis real y matemático) este concepto se utiliza para definir losconceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integración, entre otros.
Informalmente, se dice que el límite de la función f(x) es L cuando x tiende a c, y se escribe:

si se puede encontrar para cada ocasión un x suficientemente cerca de c tal que el valor de f(x) sea tan próximo a L como se desee. Formalmente, utilizando términos lógico-matemáticos:

Esta definición se denominafrecuentemente definición épsilon-delta de límite, y se lee como:
"El límite de f de x cuando x tiende a c es igual a L si y sólo si para todo número real ε mayor que cero existe un número real δ mayor que cero tal que si la distancia entre x y c es menor que δ, entonces la distancia entre la imagen de x y L es menor que ε unidades".

Límites laterales:
El límte lateral por la derecha de unafunción y = f(x) en el punto x = a es el valor al que se aproxima f(x) cuando x se aproxima al valor de a por valores mayores que a . Lo representamos por :

Límite de una función en el infinito.

Continuidad
Intuitivamente, la continuidad significa que un pequeño cambio en la variable x implica sólo un pequeño cambio en el valor de f(x), es decir, la gráfica consiste de un sólo trozo decurva.
En contraste, una gráfica como la de la función f(x) = sgn x (signo de x) que consiste de pedazos de curva separados por un vacío en una abcisa exhibe allí una discontinuidad.
La continuidad de la función f(x) para un valor a significa que f(x) difiere arbitrariamente poco del valor f(a) cuando x está suficientemente cerca de a.
Expresemos esto en términos del concepto de límite...Continuidad
Una función f(x) es continua en un punto a si limx->af(x) = f(a).
Nota: observar que debe existir f(a) y debe existir el limx->a f(x) y debe ser igual a f(a).

Función continua en un número.
Una función f es continua en un número a si y sólo si se satisfacen las tres condiciones siguiente:
i. f (a) existe;
ii. existe;
iii.
Si por lo menos una de estas trescondiciones no se cumple en a, entonces se dice que la función f es discontinua en a.
Ejemplos 20.
1) La función definida por es discontinua en 2, pues dicha función no está definida en el 2. Veamos como es su comportamiento gráficamente, mostrado en la figura 9.

La gráfica muestra un salto en el punto (2; 4), esto se debe a la discontinuidad de la función en x= 2, por lo tanto, f(2) no existe....