Mates Derivades

DERIVADES. TÈCNIQUES
DE DERIVACIÓ

UNITAT 9

Pàgina 232
Problema 1
y = f (x )

5
3

–5

3

9

14

Troba, mirant la gràfica i les rectes traçades, f' (3), f' (9) i f' (14).
f ' (3) = 0; f' (9) =

–3
; f' (14) = 1
4

Digues uns altres tres punts en què la derivada sigui positiva.
La derivada també és positiva en x = –4, x = –2, x = 0…
Digues un altre punt en què la derivada sigui zero.
La derivadatambé és zero en x = 11.
Digues uns altres dos punts en què la derivada sigui negativa.
La derivada també és negativa en x = 4, x = 5…
Digues un interval [a, b ] en el qual es compleixi que “si x ∈ [a, b ], llavors
f' (x) > 0”.
Per exemple, en l’interval [–5, 2] es compleix que, si x ∈ [–5, 2], aleshores f ' (x) > 0.
Unitat 9. Derivades. Tècniques de derivació

391

Pàgina 233
y = f (x )Continua escrivint les raons
per les quals g (x) és una funció el comportament de la
qual respon al de la derivada
de f (x).

b
a

• En l’interval (a, b), f (x) és
decreixent. Por tant, la seva derivada és negativa. És el que li
passa a g (x) en (a, b).
y = g (x ) = f ' (x)

• La derivada de f a b és 0: f' (b) =
= 0. I també és g(b) = 0.

b
a

• En general:
g (x) = f' (x) = 0 en què f (x)
té tangenthoritzontal.
g (x) = f' (x) > 0 en què f (x) és creixent.

g (x) = f' (x) < 0 en què f (x) és decreixent.
1

A

2

B

3

C

Les gràfiques A, B i C són les
funcions derivades de les
gràfiques 1, 2 i 3, però en un
altre ordre. Respon raonadament quina és la de cadascuna.
1) B.
2) A.
3) C.
La derivada s’anul·la en els
punts de tangent horitzontal, és
positiva on la funció és creixent, i és negativa on lafunció
decreix.

Unitat 9. Derivades. Tècniques de derivació

392

Pàgina 239
1. Calcula la derivada de cada una de les funcions següents:
a) f (x) =

√

1–x
1+x

d) f (x) =

1 – tg x
1 + tg x

1 – tg x
1 + tg x

f ) f (x) = ln √e tg x

c) f (x) = ln
e) f (x) =

1–x
1+x

b) f (x) =

1–x
1+x

√

g) f (x) = √3x + 1

h) f (x) = log (sin x · cos x)2

i ) f (x) = sin2 x + cos2 x + x

j ) f (x) = sin√x + 1 · cos √x – 1

k) f (x) = arc sin √x

l) f (x) = sin(3x5 – 2 √x + √2x )

m) f (x) = √sin x + x2 + 1

n) f (x) = cos2 √x + (3 – x)2

3

3

–2
a) f' (x) = –1 · (1 + x) – (1 – x) · 1 = –1 – x – 1 + x =
(1 + x) 2
(1 + x) 2
(1 + x) 2
b) Utilitzem el resultat obtingut a a):
f' (x) =
2

√

–1
1
–2
·
=
2
(1
+
x)
√
(1
–
x)(1
+ x) 3
1–x
1+x

c) Utilitzem el resultat obtingut a a):
f' (x) =

1
–2
–2(1 +x)
·
=
= –2
1 – x (1 + x) 2
(1 – x)(1 + x) 2
1 – x2
1+x

D’una altra manera: Si agafem logaritmes prèviament:
f (x) = ln (1 – x) – ln (1 + x). Derivem:
f' (x) =

–1
1
–
= –1 – x – 1 + x = –2
1–x
1+x
1 – x2
1 – x2

2
2
d) f' (x) = – (1 + tg x)(1 + tg x) – (1 – tg x) · (1 + tg x) =
2
(1 + tg x)
2
2
= (1 + tg x)[–1 – tg x – 1 + tg x] = – 2(1 + tg x)
2
(1 + tg x)
(1 + tg x) 2

D’una altra manera: Sitenim en compte el resultat obtingut a a):
f' (x) =

2
–2
–2
· D [tg x] =
· (1 + tg 2 x) = – 2(1 + tg x)
2
2
(1 + tg x) 2
(1 + tg x)
(1 + tg x)

Unitat 9. Derivades. Tècniques de derivació

393

e) Tenint en compte el que hem obtingut a d):
f' (x) =
2

√

2
– (1 + tg 2 x)
1
· – 2(1 + tg x) =
2
(1 + tg x)
1 – tg x
√ (1 – tg x)(1 + tg x) 3
1 + tg x

També podríem haver arribat a aquest resultatutilitzant el que hem obtengut a b).
tg x
f) f (x) = ln √e tg x = ln e (tg x) / 2 =
2
f' (x) =

1 + tg 2 x
2

g) f (x) = √3 x + 1 = 3 (x + 1) / 2
f' (x) = 3 (x + 1) / 2 ·

1
ln 3 √3 x + 1
· ln 3 =
·
2
2

h) f (x) = log (sin x · cos x)2 = 2 [log (sin x + log (cos x)]
f' (x) = 2
=

[

]

cos x
1
–sin x
1
2
cos 2 x – sin 2 x
·
+
·
=
·
=
sin x ln 10
cos x
ln 10
ln 10
sin x · cos x

4
4
cos 2x
4
cos 2 x –sin 2 x
·
=
·
=
ln 10
ln 10 sin 2x
ln 10 · tg 2x
2sin x · cos x

D’una altra manera:
f (x) = log (sin x · cos x) 2 = 2 log
f' (x) = 2 ·

(

sin 2x
2

)

1
4
· cos 2x =
ln 10
ln 10 · tg 2x
sin 2x
2

i) f (x) = sin 2 x + cos 2 x + x = 1 + x
f' (x) = 1
—
—
—
—
cos √ x + 1 · cos √ x – 1
sin √ x + 1 · (– sin √ x – 1 )
+
=
2 √x + 1
2 √x – 1
—
—
—
—
cos √ x + 1 · cos √ x – 1
sin √ x + 1 · sin √ x –...