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MATRICES Y DETERMINANTES
1. CONCEPTO DE MATRICES:
A. Es una disposición rectangular de elementos distribuidos en filas y columnas.
B. Una matriz es un conjunto de números ordenados en filas (↔) y columnas (↕) que tienen forma rectangular.
EJEMPLO:



C. Es una ordenación de números dispuestos en filas (horizontales) y columnas (verticales), encerrados entre corchetes.EJEMPLO: FILA2


2. PARA QUE SIRVEN LAS MATRICES:
Son herramientas útiles en todos los campos de la tecnología, en ingeniería de sistemas para organizar la información de una manera eficiente, en economía para mejorar las tabulaciones estadísticas, etc.
EJEMPLO:

1970
1971
1972
1974
COLOMBIA
18
18.5
20
22
ECUADOR
15
15.5
17
18
PERÚ
1415
16
18
BOLIVIA
12
13
15
16


3. NOTACION DE UNA MATRIZ:
Las matrices se designan con letras mayúsculas. Las matrices van entre corchete.

EJEMPLO:
A=







4. ORDEN DE UNA MATRIZ:
Si una matriz tiene m filas y n columnas, entonces decimos que la matriz es de ORDEN m x n que se lee “m por n” y la llamamos matriz m x n.
A. MATRIZ CUADRADA: Una matriz es cuadrada cuandoel número de filas es igual al número de columnas.

EJEMPLO: 2x2

EJEMPLO: 3x3

B. MATRIZ FILA: es una matriz con una sola fila.

EJEMPLO: B=1X4


C. MATRIZ COLUMNA: es una matriz con una sola columna.
A=4X1

D. MATRIZ NULA: es una matriz que tiene nulos todos sus elementos.
El orden de una matriz nula, para evitar confusión se escribe. Ej.: A=Ф

E. MATRIZUNIDAD: Una matriz cuadrada A cuyos elementos aij = 0 para i > j se llama matriz triangular superior.

EJEMPLO:

Matriz triangular inferior
EJEMPLO:

F. MATRIZ DIAGONAL: Si una matriz simultáneamente triangular superior tenemos una matriz diagonal.
EJEMPLO: D= se representa por D=(a11 a22 a33)

CASOS DE LA MATRIZ DIAGONAL:
si la matriz Diagonal D se verificaque a11=a22=a33=…=ann= k, entonces D recibe el nombre de MATRIZ ESCALAR.

EJEMPLO: A= Matriz Escalar

Si además a11=a22=a33=…=ann= k; k=1 la matriz se llama MATRIZ UNIDAD y se representa por In.

EJEMPLO: I3= Matriz Unidad


6. OPERACIONES BASICAS:

A. SUMA: para sumar matrices es requisito básico que ambas matrices tengan el mismo orden y la suma se realizasumando sus términos correspondientes. Es decir:

Sea A=[aij]mxn + [bij]mxn = [aij + bij]mxn

EJEMPLO: A=2X3 Y B=2X3

A+B=2X3 = 2X3

PROPIEDADES DE LA SUMA:

CLAUSURATIVA: para toda matriz A y B que pertenecen al conjunto de matrices M se tiene que (A+B) también pertenece al conjunto de matrices.
AєM y BєM →(A+B)Єm

ASOCIATIVA: ɏ(A,B,C) є M → A +(B+C)=(A+B) + C

MODULATIVA: ɏ(A) є M Ǝ Ф M |A+ Ф = A

INVERSA: ɏ(A) є M Ǝ (-A) є M |A+ (-A)= Ф

CONMUTATIVA: ɏ(A,B) є M →A+ B = B+A

B. DIFERENCIA DE MATRICES:

La resta de matrices es simplemente la suma de matrices con la condición que la segunda matriz sea la matriz negativa de B.
EJEMPLO: A=2X3 B=2X3

A – B =?
Tomamos la matriz B yhallamos su negativa: hallar la negativa es solamente multiplicar cada uno de sus términos por (-1).

B= 2x3

Ahora:

A-B = 2X3 + ==2X3

C. MULTIPLICACION DE UNA MATRIZ POR UN NÚMERO

DEF: ɏ(A)є matriz Y ,t є Real, Si : A =[aij]mxn , entonces: t*A = t[aij]mxn = [taij]mxn

EJEMPLO: -3*A=-3*=3x2 =3x2

PROPIEDADES:
C1: ɏ (A,B) є M Ʌ T є R → T(A+B) = T*A+T*B
C2: ɏ(A) є M Ʌ ɏ (T*K) є R → A(T+K)=(TA+KA)
C3: ɏ (A) є M Ʌ ɏ (K*T) є R → (A*T)K=A(T*K)
C4: ɏ (A) є M Ǝ 1Єr | A*1=A

D. MULTIPLICACION DE MATRICES:

Para realizar la multiplicación de dos matrices A y B, se exige que A tenga tantas columnas como filas tenga B. Luego, si A es una matriz de orden mxk y B es una matriz de orden kxn, entonces A es multiplicable por B. Es decir, la matriz producto...