Mates I

Llista de problemes.
Tema 7: Optimitzaci´ en una variable real. Solucions
o

Departament d’Economia i d’Hist` ria Econ` mica
o
o

1. i 2.

a) f (x) =

x3
3

´
− 2x2 + 3x + 1, al ser un polinomi es continua i derivable

a R. Tenim f ′ (x) = x2 − 4x + 3, i f ′′ (x) = 2x − 4.
- Creixement/decreixement: f ′ (x) > 0 ⇔ x2 − 4x + 3 > 0 ⇔ x ∈
(−∞, 1) ∪ (3, +∞) ⇔ f creix
f ′ (x) < 0⇔ x2 − 4x + 3 < 0 ⇔ x ∈ (1, 3) ⇔ f decreix
- Possibles extrems: f ′ (x) = 0 ⇔ x2 − 4x + 3 = 0 ⇔ x = 1, 3
Estudiem el signe de la segona derivada en ells.
f ′′ (x = 1) = −2 < 0 ⇒ en x = 1 hi ha un m` x relatiu
a
f ′′ (x = 3) = 2 > 0 ⇒ en x = 3 hi ha un min relatiu
- Concavitat/convexitat: f ′′ (x) > 0 ⇔ 2x − 4 > 0 ⇔ x ∈
(2, +∞) ⇔ f convexa
f ′′ (x) < 0 ⇔ 2x − 4 < 0 ⇔ x ∈ (+∞, 2) ⇔ f c´ ncavao
- Possibles punts d’inflexi´ : f ′′ (x) = 0 ⇔ 2x − 4 = 0 ⇔ x = 2
o
Com f ′′′ (x = 2) ̸= 0 tenim un punt d’inflexi´ en x = 2.
o

4

3

y

2

1

0

1

2
x

2

3

4

b) f (x) = | ln x|. Discutim la funci´ :
o
{
− ln x,
f (x) =
ln x,

si 0 < x < 1
si x ≥ 1

´
es una funci´ continua al ser composici´ de funcions continues. En
o
o
´
x = 1 no es derivable(comproveu-ho!), encara que en aquest punt t´
e
el seu m´nim global. Tenim:
ı
{
− 1 , si 0 < x < 1
f ′ (x) = 1 x
,
si x > 1
x
{

1
,
x2
1
− x2 ,

f ′′ (x) =

si 0 < x < 1
si x > 1

- Creixement/decreixement: f ′ (x) > 0 ⇔ x > 1,

f ′ (x) < 0 ⇔

01
- Possibles punts d’inflexi´ : No s’annul·la mai la segona derivada.
o

4

3

y

2

1

0

1

2
x

3

34

c) f (x) =
f ′′′ (x) =

(x−2)3
.
(x−1)2
42−18x)
(x−1)5

Tenim f ′ (x) =

(x−2)2 (x+1)
,,
(x−1)3

f ′′ (x) =

6(x−2)
(x−1)4

ii

´
. El domini de les quatre funcions es R \ {1}

- Creixement/decreixement:
f ′ ( x) > 0 ⇔

(x − 2)2 (x + 1)
> 0 ⇔ x ∈ (−∞, −1) ∪ (1, +∞)
(x − 1)3

f ′ (x) < 0 ⇔

(x − 2)2 (x + 1)
< 0 ⇔ x ∈ (−1, +1)
(x − 1)3

- Possiblesextrems:
f ′ ( x) = 0 ⇔

(x − 2)2 (x + 1)
= 0 ⇔ x = −1, 2.
(x − 1)3

Estudiem el signe de la segona derivada en ells per veure qu` s´ n.
eo
f ′′ (x = −1) < 0 ⇒ en x = −1 hi ha un m` x relatiu
a
f ′′ (x = 2) = 0 possible punt d’inflexi´
o
- Concavitat/convexitat:
f ′′ (x) > 0 ⇔

6(x − 2)
6(x − 2)
> 0 ⇔ x > 2, f ′′ (x) < 0 ⇔
0 ⇔
f ′ ( x) < 0 ⇔

5x−2
√
33x

+

5x−2
√
33x

22
4

9x 3

1

2

1

5x 3 x 3
√
33x

2
− 3 √x =
3

.

2
> 0 ⇔ x ∈ ( 5 , +∞),

< 0 ⇔ x ∈ (0, 2 )
5

- Possibles punts extrems: f ′ (x) = 0 ⇔

5x−2
√
33x

=0⇔x=

2
.
5

Estudiem el signe de la segona derivada en ell per veure qu` es:
e´
f ′′ (x = 2 ) > 0, per tant en x =
5

2
5

tenim un minim relatiu.

- Concavitat/convexitat: f ′′ (x) > 0 ⇔

101

9x 3

+

2
4

9x 3

> 0, sempre ho

´
es, mai pot ser negativa ja que tenim x > 0.
- Possibles punts d’inflexi´ : la segona derivada no s’annul·la mai.
o

7

6

5

4
y
3

2

1

–1

0

1

2

3
x

–1

5

4

5

6

´
e) f (x) = cos x, es una funci´ derivable i continua a tot R. Tenim
o
f ′ (x) = − sin x, f ′′ (x) = − cos x, farem l’estudi al’interval [0, 2π ] i
s’exten a tot R per periodicitat.
- Creixement/decreixement: f ′ (x) > 0 ⇔ − sin x > 0 ⇔ x ∈
(π, 2π ),
f ′ (x) < 0 ⇔ − sin x < 0 ⇔ x ∈ (0, π )
- Possibles extrems: f ′ (x) = 0 ⇔ − sin x = 0 ⇔ x = 0, π
Estudiem el signe de la segona derivada en ells per veure qu` s´ n.
eo
f ′′ (x = 0) < 0 ⇒ en x = 0 hi ha un m` x relatiu
a
f ′′ (x = π ) > 0 hi ha un min relatiu
-Concavitat/convexitat:

(

)
π 3π
f (x) > 0 ⇔ − cos x > 0 ⇔ x ∈
,
22
)
( π ) ( 3π
′′
f (x) < 0 ⇔ − cos x < 0 ⇔ x ∈ 0,
∪
, 2π
2
2
- Possibles punts d’inflexi´ : f ′′ (x) = 0 ⇔ − cos x = 0 ⇔ x =
o
′′

π 3π
,.
22

Els evaluem en la tercera derivada per veure qu` s´ n:
eo

f ′′′ (x =

π
3π
) ̸= 0, if ′′′ (x =
) ̸= 0, per tant tenim dos punts d’inflexi´
o
2
2

1.5...