Math

UNIVERSIDAD INTERAMERICANA
RECINTO DE SAN GERMÁN

Capítulo 6 – Hilbert
Jackeline González Cabán


INTRODUCCIÓN:
David Hilbert (1862-1943), fue un matemático alemán que redujo
la geometría a una serie de axiomas y contribuyó al establecimiento
de los fundamentos formales de las matemáticas.
* Su primer trabajo fue acerca de la teoría invariante y en 1888
demostró su famoso teoremabase.
Luego, realizó trabajos significantes en las áreas de teoría
algebraica de números y publicó “ Los fundamentos de Geometría
en 1902”, el cual contenía lo que se convertiría en un conjunto
ampliamente aceptado de 21 axiomas para la geometría
euclidiana y un análisis de su significado.

INTRODUCCIÓN:
Una parte substancial de la fama de Hilbert, se basa en una
lista de 23 problemasmatemáticos que delineó en el 1900 y
que plantea como un reto para el próximo siglo.
En 1905, Hilbert, intentó establecer una base firme de las
matemáticas, al probar su consistencia; resultando en dos
volúmenes de los “Fundamentos de Geometría” que pretendían
llevar a una teoría de prueba.
A pesar de que Kurt Gödel, mostró esa meta como
inalcanzable, el trabajo que Hilbert, había realizado enlos
fundamentos de las matemáticas se mantuvo como influencia
en el desarrollo de la lógica.

TEORÍA DE PRUEBA DE HILBERT
Hilbert, formalizó las teorías matemáticas para poder
convertirlas en objetos bien definidos de discusión; haciendo
posible la nueva forma de investigación a la cual se llamó:
meta - matemática.
Éste, fue el primero en enfatizar que la estricta formulación
de unateoría envuelve la abstracción total del significado,
siendo el resultado llamado: un sistema formal.

TEORÍA DE PRUEBA DE HILBERT
En su estructura, una teoría formalizada ya no es un
sistema de proposiciones significativas sino uno de
oraciones como secuencias de palabras que a su vez son
secuencias de letras(un lenguaje simbólico).
El método de Hilbert, de hacer el sistema formal como untodo, en el objeto de estudio matemático es llamado: metamatemática o teoría de prueba.

TEORÍA DE PRUEBA DE HILBERT
¿Qué es meta-matemática?

Es el estudio de las matemáticas en sí (con respecto a los
sistemas matemáticos formales, la meta-matemática consiste de
declaraciones acerca de los signos y las fórmulas que se
producen dentro de los sistemas axiomáticos).
* Una de las metasprincipales de la meta-matemática es el
determinar la naturaleza del razonamiento matemático.
Luego que Hilbert, presentó un desarrollo axiomático de
geometría en “Los fundamentos de Geometría” se dedicó a
aplicar su nuevo método (meta-matemática) a las matemáticas
puras como un todo.

TEORÍA DE PRUEBA DE HILBERT
Además, escribió en el 1917: “ Ya que la examinación de la
consistencia es unatarea que no se puede evitar, parece necesario
axiomatizar la lógica misma, para probar que la teoría de números y
la teoría de conjuntos son solo partes de la lógica”. Hilbert, realizó
un acercamiento formal para alcanzar esta meta de lógica.
A raíz de esto Hilbert, identificó 3 propiedades que debe tener un
sistema axiomático:

1) Decidible
2) Completo
3) Consistente

* Deben estar eneste orden. Antes de definir
dichas nociones primero tenemos que hacer
precisos otros conceptos.

TEORÍA DE PRUEBA DE HILBERT
Conceptos Importantes:
Axioma: una proposición que se considera cierta sin necesidad de ser
probada.
Variable libre: una variable que no está unida dentro del alcance de un
cuantificador.
Declaración: una fórmula bien formada y sin variables libres.
Un axioma queno contiene variables también es llamado axioma de
declaración, un axioma con variables libres es llamado axioma de
estrategia y cada variable libre tiene que ser cuantificada sobre las
fórmulas.

TEORÍA DE PRUEBA DE HILBERT
Lenguaje STGA: un lenguaje

es susceptible al argumento de Gödel’s si

consiste de:
a) ε, un conjunto numerable de expresiones; también llamado fórmulas de...