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ALGEBRA FINITA EN

IR

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Sucesiones
¿Qué es una sucesión? La mayoría de las personas hemos escuchado frases como “una sucesión de acontecimientos”, “una sucesión de pedidos”, “una sucesión de valores” . Intuituvamente usamos el término sucesión para describir una lista de eventos, objetos o números que vienen ordenadamente uno después de otro. Por ejemplo, Lunes, Martes, Miércoles, ……….,Domingo 3, 5, 7, 9, ………………. son ejemplos de sucesiones.

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Cada objeto de la lista se llama término de la sucesión. El primer ejemplo trata de una sucesión finita. En el segundo caso, no se indica el último término y decimos que estamos frente a una sucesión infinita. En esta unidad nos interesa estudiar las sucesiones infinitas de números las que llamaremos simplemente sucesiones.

Unasucesión en ℜ es un conjunto ordenado de números reales: a1, a 2 , a 3 , . . . . . . .
Tercer término Primer término Segundo término

formados de determinada ley.

acuerdo

con

una

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Por ejemplo, a n = 2n + 1 es el término general de la sucesión: 3, 5, 7, 9, ……. El décimo término de esta sucesión es a 10 = 21

Ejercicio:

Escriba los cinco primeros términos de la sucesión cuyotérmino general es: a ) an = n 2 b) a k = 2 k c) a n = 1 4 n +10 d ) a i = ( 2i − 5 )i e ) a k = nk

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En algunos casos una sucesión admite más de una expresión para su término general. Por ejemplo, -1, 1, -1, 1, -1, . . . . . se describe mediante y también incluso

an = (−1)n

si n es par 1 an =  − 1 si n es impar
 a1 = −1  a n+1 = ( −1) a n n ∈ IN

Esta última forma deexpresar la sucesión se llama fórmula de recurrencia puesto que para describir un término se recurre al anterior.

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Ejercicio: Determine si es verdadero o falso que
VoF a) El 9°término de la sucesión a n = −2n + 2 es 16 b) El 12°término de la sucesión a k =
( −1)k k

es

1 12

c) Los números 25 y 120 corresponden al tercer y cuarto término de la sucesión definida por recurrencia así  a1 =2  a n +1 = (n + 2) a n

Ejercicio: Determine el término general de la sucesión
a) 1, 3, 9, 27, . . . . b) 30, 36, 42, 48, . . . . c) 2, 5, 10, 17, . . . .

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Ejercicio:

Con la ayuda de su calculadora complete la siguiente tabla:

n
1 an = 1+ n

10

50

100

500

1000

5000

10000

( )n
Cuanto mayor sea el valor asignado a n, tanto más cerca se está del númeroirracional e ( e es aprox. 2, 7182 ) base de los logaritmos naturales.

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Sumatorias
Consideremos la sucesión de números reales ( a n )n∈IN La suma de los n primeros términos de esta sucesión se denota por n

∑ ai
i=1

y se lee “sumatoria de los a i , con i variando desde 1 hasta n”.
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Por ejemplo,

i=1

∑ 5i =

5 + 10 + 15 + 20 + ....... + 120
( − 1) k ∑ k k =1
30

Lasuma

1 1 1 1 1 − 1 + − + − + ......... + 2 3 4 5 30

se escribe

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Observaciones:
1. En

∑ ai
i=1

n

la letra i es “muda”, esto significa que

∑ ai = ∑ ak = ∑ a j
i=1 k =1 j=1

n

n

n

2. Si k < n,

∑ ai = ∑ ai + ∑ ai
i =1 i=1 i= k +1

n

k

n

3. Si C es una constante real,

∑ C = nC
i=1

n

Ejercicio: Determine si es verdadero o falso que:
100

∑( 2 + i) = 2 +

100

i =1

∑

i

i =1

k =0

∑ k3 = ∑ k3
k =1

70

71

9

Propiedades de la sumatoria:
1.

∑ ∑

es aditiva:

i=1

∑ (a i + b i ) = ∑ ai
i=1

n

n

+

i=1

∑ bi
C constante

n

2.

es homogénea:

i=1

∑ C ai
n

n

= C

i=1

∑ ai ,

n

3. Propiedad telescópica:
40

i=1
40

∑ ( a i − a i−1 ) =

an − aoEjercicio: Si

i =1

∑ ai2 = 634 , ∑ ai = 105,
42
i =1

a 41 = 5 y a 42 = −2

determine el valor de

i=1

∑ (ai

− 1) 2

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Algunas sumatorias importantes
1 + 2 + 3 + ……………. + 98 + 99 + 100 = 50 (101) 101 101 101
n

Fórmula de Gauss:

i=1

∑

i=

n ( n + 1) , 2

∀ n ∈ IN

Ejercicio: Encuentre una expresión para la suma de los
n primeros números pares. 52 +...