MATRICES (ALGEBRA LINEAL)

MATRICES.
Def: Sean
I  1, 2, 3,   , m ;
J  1, 2, 3,   , n
K representa los cuerpos  ,  , ℂ.
M : I  J → K tal que Mi, j  a ij ∈ K
matriz de m filas y n columnas.
Notación M  a ij  mn
a 11 a 12 a 13    a 1n
un arreglo rectangular M  a ij  

    
a m1 a m1 a m1    a mn

Las anotaremos con letras mayúsculas como A, B, C, X, etc.
a 1j
a 2jf i M   a i1 a i2 a i3    a in 

c j M 

a 3j

a mj

a ij es el elemento que está en la fila i y en la columna j.
M mn 
conjunto de todas las matrices que tienen m filas
y n columnas con coeficientes reales.
Si m  n son matrices cuadradas y se anotan M n .
Def) Dos matrices A ∈ M mn y B ∈ M pq
A  B si y solo si m  p ∧ n  q ∧ ∀i , ∀j a ij  b ij .
Ejemplo.1 1

1 1 1

≠

1 1

;

1 1 1

1 1

1 1 1

1 1 1

≠

1 1 1

0 1 1

Def)
Suma de matrices.
A  a ij  ; B  b ij 
A , B ∈ M mn
A  B  a ij  b ij 
Ejemplo:
AB 
Nota:

2

O ∈ M mn
A  a ij 

−1

−1 0

−3

A

5

3

−6

7

, B

−3 4 −6
1

−2 14 10
matriz nula a ij  0 , ∀i , ∀j.
entonces −A  −a ij 

9

3

Propiedadesde la suma de matrices.
A , B , C ∈ M mn
A  B  C   A  B  C
AB  BA
AO  OA
A  −A  O

1)
2)
3)
4)

Def)

Asociatividad.
Conmutatividad.
Neutro.
Opuestos.

Multiplicación por un escalar.
∈K ,
 A ∈ M mn
A

1

A  a ij  , A ∈ M mn
 A   a ij 

2

−3 5

4

4A 

,

8

−12 20

,  ∈ K ,
, A, B ∈ M mn
1)
A  B  A  B
2)  A  A  A
3)
A  A
4)
1A  A
Multiplicación de matrices.

Propiedades:

Def)

Sean

A ∈ M mp
A  a ij 

,

B ∈ M pn
B  b ij 

p

AB  

∑ a ik b kj 
K1

Ejemplo: A 
AB 

a 11 a 12
a 21 a 22

∧

B

b 11 b 12 b 13
b 21 b 22 b 23

a 11 b 11  a 12 b 21 a 11 b 12  a 12 b 22 a 11 b 13  a 12 b 23
a 21 b 11  a 22 b 21 a 21 b 12  a 22b 22 a 21 b 13  a 22 b 23

Obs) El producto AB solo es posible si el numero de columnas de A
coincide con el numero de filas de B.
En general AB ≠ BA aún en el caso de matrices cuadradas.
Ejemplo,
A

3 5
2 1

,

B

2 5
3 7

3 5

3 7

2 5

3 5

3 7

BA 

2 5

2 1

AB 

2 1

AB  0 
Ejemplo: A 



21 50



16 15

7

17

23 22

AO ∨BO
0 −3
0

≠O

1

,

B

1 10
0

0

≠O

0 0

AB 

0 0

Ejercicio:
1

Dadas A 

7 3

; B

−1 5 4

Def)

0 4

; C

0
−1

8 1
1
2

0

2A  X − BC  O

Hallar X tal que

Def)

1 2

Dos matrices A y B conmutan si y solo si AB  BA

I n ∈ M n matriz cuadrada de orden n
llamada matriz identidad
I n   ij 
 ij

con

 ij 

0 si i≠ j
1 si i  j

se conoce como el delta de Kronecker.

Teorema:
1) A ∈ M mn
, I m A  A ∧ AI n
2) AB  C  AB  AC ; A ∈ M mp ;
3) A  BC  AC  BC ; A, B ∈ M mp
4) A BC   ABC
; A ∈ M mp ∧ B
m

1)

ImA 

∑
k1

 ik a kj

 a ij   A

A
B, C ∈ M pn
; C ∈ M pn
∈ M pq ∧ C ∈ M qn

p

∑

AB  C 

2)

p

a ik b kj  c kj 

p

∑

k1

∑

a ik b kj

k1

a ik c kj

k1

 AB  AC
q

4)

∑

a ik

k1
q



b il c lj

∑

a ik b kj c ij  

k1

q

∑ ∑ a ik



b kl c lj

l1

∑ ∑

k1

A ∈ Mn
A0  In ;
Si px 
entonces

∑

p

p

l1
p

Def)

q

l1

a ij 

∑

p

b kl c lj

k1
l1
q
p

a ik b kl c lj

∑∑



a ik b kl c lj

l1k1

matriz cuadrada de orden n.
A 1  A ; A k1  A k A
∀k ∈ ℕ
2
m
a 0  a 1 x  a 2 x     a m x
polinomio con coeficientes reales.
2
pA  a 0 I n  a 1 A  a 2 A     a m A m

Sea px  x 3 − 2x 2  6x − 5

1 2

A

,

; B

0 1

−1

0

0

−1

hallar pA y pB
3

1 2



0 1
1 6
0 1
pA 

2

1 6

,

0 1
1 4

−2

0 1...